equação com somatório de potência

por **dummyman** » Sáb Jan 04, 2014 12:28

Oi pessoal, esse eh meu primeiro post aqui no fórum.

Tenho a seguinte equação:
N+1=1+b+(b^2)+...+(b^d)
Sei que N vale 52 e d vale 5.
Gostaria de saber como proceder para encontrar o valor de b.

Fico muito grato a quem puder ajudar.

por **e8group** » Sáb Jan 04, 2014 15:26

Note que a soma ao lado direito da igualdade é a soma dos

primeiros termos da sequência (neste caso P.G de razão b) $1,b^2 ,b^3 , \hdots$ . A sequência $\left(a r^{n-1} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ és uma P.G. de razão

e a soma dos primeiros

termos é dada por

$S_m = \sum_{n=1}^{m+1} ar^{n-1}$ e assim $rS_m = \sum_{n=1}^{m+1} ar^{n} = a - a +ar^{m+1} + \sum_{n=1}^{m} ar^{n} = -a +ar^{m+1} + \sum_{n=1}^{m+1} ar^{n-1} = -a +ar^{m+1} +S_m$ . Ou seja,

$S_m(r-1) = -a +ar^{m+1}$ e portanto $\boxed{S_m = \frac{a(r^{m+1} -1)}{r-1}}$ desde que $r \neq 1$ . Pela fórmula destacada ,temos

$N + 1 = 53 = \frac{b^{6} -1}{b-1}$ . O número

corresponde a uma solução real da eq.

x^6 -53x +52 = 0