[Dependência Linear com Polinômios] Dúvida em exercício

por **lanaamonteiro** » Seg Dez 09, 2013 11:27

O enunciado da questão diz o seguinte:

"Verificar se o subconjunto de P4 (R) é LI ou LD:
W= {x(x-1), x³, 2x³-x², x}"

Eu tentei resolver da seguinte forma:

> $\alpha$ 1*(x²-x) + $\alpha$ 2*(x³) + $\alpha$ 3*(2x³-x²) + $\alpha$ 4*(x)
> (- $\alpha$ 1 + $\alpha$ 4)*x + ( $\alpha$ 1 - $\alpha$ 3)*x² + ( $\alpha$ 2 + 2* $\alpha$ 3)*x³
| $\alpha$ 1 + $\alpha$ 4 =0
| $\alpha$ 1 - $\alpha$ 3 =0
| $\alpha$ 2 + 2* $\alpha$ 3 =0

Depois daí eu não consigo mais resolver, porque esse sistema não tem solução! :/
também não sei se fiz certo até aí,
por favor ajudem!

Obrigada.

por **e8group** » Seg Dez 09, 2013 12:21

A princípio parece que este conjunto é L.D. , a cardinalidade do mesmo é 4 que é maior que o grau de qualquer polinômio escrito como combinação linear dos polinômios de W . Definamos
$p(x) = \alpha_1 x(x-1)+\alpha_2 x^3 +\alpha_3( 2x^3-x^2) + \alpha_4 x = (-\alpha_1 + \alpha_4)x+(\alpha_1 - \alpha_3 )x^2 + (\alpha_2 + 2\alpha_3)x^3$ .
.

Se $p \equiv 0 , \forall x$ ,então

$-\alpha_1 + \alpha_4 = \alpha_1 - \alpha_3 = \alpha_2 + 2\alpha_3 = 0$ que é um sistema de três equações com 4 incógnitas , como o número de varáveis é maior que o de eq. é natural esperar que teremos algumas incógnitas em funções de outras . Por exemplo , escolhendo $\alpha_4 = 1$ ,obteremos

$\alpha_1 = \alpha_3 = 1$ e $\alpha_2 = -2$ .

Verificando : $p(x)= \alpha_1 x(x-1)+\alpha_2 x^3 +\alpha_3( 2x^3-x^2) + \alpha_4 x = x(x-1)-2x^3 +( 2x^3-x^2) + x = x^2 - x - 2x^3 + 2x^3 - x^2 = (x-x) + (x^2-x^2) +(2x^3-2x^3) = 0 + 0 + 0 = 0$

para todo

.

[Dependência Linear com Polinômios] Dúvida em exercício

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Re: [Dependência Linear com Polinômios] Dúvida em exercício

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