[Álgebra Pura]

por **raimundoocjr** » Qui Mai 30, 2013 22:59

Calcular $\frac{-3x}{(3+3x^2)^2}=\frac{9}{16}$ .

por **e8group** » Sex Mai 31, 2013 11:27

Esta equação não admite solução real .De fato : Reescrevemos -3x/(3+3x^2)^2

como

e considerando este resultado uma função g(x)

.Observando que o denominador é sempre positivo para quaisquer

real ,então comparando a igualdade dada (equação) é fácil ver que se g(x) =9/16

admite um número finito de soluções reais ,então obrigatoriamente tais soluções são < 0

,mas isto contradiz o teorema do valor intermediário (TVI) , pois

é contínua em $(-\infty,0)$ e $\begin{cases} \lim_{x\to -\infty} g(x) <9/16\\ \lim_{x\to 0^-} g(x) < 9/16\end{cases}$ o que implica que não existe

em quaisquer intervalos $[M,N] \subset (-\infty,0)$ (ou $[N,M] \subset (-\infty,0) )$ tais que g(c) = 0

.Logo pelo (TVI), concluímos que a suposição de g(x) =9/16

admite um número finito de soluções reais é falsa ,i.e,a equação não admite solução real .

Outra forma que achei interessante :

Usando que necessariamente x< 0

,fazendo a substituição trigonométrica $x = - tan(\gamma)$ para $(*) tan(\gamma) > 0$ ,temos :

$\frac{ tan(\gamma)}{3(1+tan^2(\gamma))^2} = \frac{tan(\gamma)}{3sec^4 \gamma} = \frac{9}{16} \implies sin \gamma cos^3 \gamma = \frac{27}{16}$ .Esta igualdade é uma contradição .Pois 27/16 > 1