(Vestibular-80) Área

por **flavio2010** » Qui Jul 15, 2010 12:54

Um poligono do plano Oxy tem área s.
A função f:R^2->R^2 tal que:
f(x,y)=(2x+y,x+2y) o tranforma num polígonode área:
a) s
b) 2s
c) 4s
d) s/2
e) 3s

por **Tom** » Qui Jul 15, 2010 13:24

Por hora, penso que você poderia fazer um simples estudo.

Dado o triângulo cujos lados tem coordenada (0,0);(0,1);(1,0)

cuja área é $s=\dfrac{1}{2}$

Com a função teríamos as coordenadas (0,0);(1,2);(2,1)

, cuja área é $s'=\dfrac{3}{2}$

Assim, s'=3s

Letra E

Depois resolverei a questão com rigor, mas pode ficar tranquilo...a solução é letra E, mesmo.

por **Tom** » Sex Jul 16, 2010 01:38

Pronto, uma "solução oficial":

Sejam $\vec{u},\vec{v}$ vetores de um espaço vetorial bidimensional representados no plano Oxy, tais que:

$\vec{u}=x_u.\hat_{x}$ $+ y_u.\hat_{y}$

$\vec{v}=x_v.\hat_{x}$ $+ y_v.\hat_{y}$

Sem perda de generalidade, podemos dividir um polígono em triângulos e assim o somatório da área dos triângulos resultará na área do polígono. Ora, se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são lados de um dos triângulos, então o módulo do produto vetorial $\vec{u}\times\vec{v}$ é numericamte igual ao dobro da área do triângulo supracitado.

Calculando o módulo do vetor "produto vetorial", obtemos : $2S_{\triangle}=|(u_xv_y-u_yv_x)|$

Com a função de transformação de coordenadas: f(x,y)=(2x+y,x+2y)

a área seria:

$2S'_{\triangle}=|(2u_x+u_y)(v_x+2v_y)-(u_x+2u_y)(2v_x+v_y)|=|3u_xv_y-3u_yv_x|=2.(3S_{\triangle})$

Vemos então que a função triplica a área de qualquer triângulo e, portanto, triplicará a área do somatório, isto é, a área de qualquer polígono.

Concluímos, de fato, que a Letra E é a alternativa correta.

(c.q.d.)

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