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(Vestibular-80) Área

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Mensagempor flavio2010 » Qui Jul 15, 2010 12:54

Um poligono do plano Oxy tem área s.
A função f:R^2->R^2 tal que:
f(x,y)=(2x+y,x+2y) o tranforma num polígonode área:
a) s
b) 2s
c) 4s
d) s/2
e) 3s
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Re: (Vestibular-80) Área

Mensagempor Tom » Qui Jul 15, 2010 13:24

Por hora, penso que você poderia fazer um simples estudo.

Dado o triângulo cujos lados tem coordenada (0,0);(0,1);(1,0) cuja área é s=\dfrac{1}{2}

Com a função teríamos as coordenadas (0,0);(1,2);(2,1) , cuja área é s'=\dfrac{3}{2}

Assim, s'=3s



Letra E

Depois resolverei a questão com rigor, mas pode ficar tranquilo...a solução é letra E, mesmo.
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Re: (Vestibular-80) Área

Mensagempor Tom » Sex Jul 16, 2010 01:38

Pronto, uma "solução oficial":

Sejam \vec{u},\vec{v} vetores de um espaço vetorial bidimensional representados no plano Oxy, tais que:

\vec{u}=x_u.\hat_{x}+  y_u.\hat_{y}

\vec{v}=x_v.\hat_{x}+  y_v.\hat_{y}

Sem perda de generalidade, podemos dividir um polígono em triângulos e assim o somatório da área dos triângulos resultará na área do polígono. Ora, se \vec{u} e \vec{v} são lados de um dos triângulos, então o módulo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é numericamte igual ao dobro da área do triângulo supracitado.

Calculando o módulo do vetor "produto vetorial", obtemos : 2S_{\triangle}=|(u_xv_y-u_yv_x)|

Com a função de transformação de coordenadas: f(x,y)=(2x+y,x+2y) a área seria:

2S'_{\triangle}=|(2u_x+u_y)(v_x+2v_y)-(u_x+2u_y)(2v_x+v_y)|=|3u_xv_y-3u_yv_x|=2.(3S_{\triangle})

Vemos então que a função triplica a área de qualquer triângulo e, portanto, triplicará a área do somatório, isto é, a área de qualquer polígono.

Concluímos, de fato, que a Letra E é a alternativa correta.

(c.q.d.)
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Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?