algebra para licenciatura

por **daianalemos10** » Ter Jan 21, 2014 14:45

Reais e complexos são isomorfos como aneis?
mostre que Q sqrt[2] e Q sqrt[3]

não são isomorfos.

Sejam R e S aneis comutativos com unidade. Se $\phi$ é um homomorfismo de R sobre S e a caracteristica de R é não nula, prove que a caracteristica de S divide a caracteristica de R.

(não sei nem como começar)

por **adauto martins** » Qua Dez 28, 2016 17:08

seja

{ $(x,0)/(x,0)\in C$ },onde C é o conj.numeros complexos,a saber:

{ $z=(x,y)/z=x+yi,i=\sqrt[]{-1}$ }...vamos tomar $f:\Re \rightarrow K$ e tal q.
f(x)=(x,0)

,entao:

1) f(x+y)=((x+y),0)=(x,0)+(y,0)=f(x)+f(y)...

f(x.y)=((x.y,0)=(x,0).(y,0)=f(x).f(y)...

,logo f e homomorfica...
pela definiçao de f,temos que:
$\forall y\in K,\exists x\in \Re/y=f(x,0)$ ,ou seja ,f é sobrejetiva,logo f é um isomorfismo...em geral,temos que:
$f:{\Re}^{2}=\ReX\Re\rightarrow C$ $f:{\Re}^{2}=\ReX\Re\rightarrow C$ $f:{\Re}^{2}=\Re X \Re\rightarrow C$ é um isomorfismo(prove isso!)...
agora:
$f:Q[\sqrt[]{2}]\rightarrow Q[\sqrt[]{3}]$ ,nao é um isomorfismo,pois:
sabemos que: $Q[\sqrt[]{2}]=$ { $p+q\sqrt[]{2}$ $p+q\sqrt[]{2}/p,q \in Q$ }... $Q[\sqrt[]{3}]=$ { $m+n\sqrt[]{3}/m,n \in Q$ }...
suponhamos q.:
$f:Q[\sqrt[]{2}]\rightarrow Q[\sqrt[]{3}]$ seja um isomorfismo,logo:
$f(2)=f(\sqrt[]{2}.\sqrt[]{2})=a+b\sqrt[]{3}$ ,como f é um isomorfismo,teriamos entao q.:
$f(1)=1...f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2...se: [tex]{f(2)}^{2}={(a+b\sqrt[]{3}})^{2}\Rightarrow 4={a}^{2}+2.ab\sqrt[]{3}+3.{b}^{2}...\sqrt[]{3}=(4-3.{b}^{2})/a.b,p/a,b\neq 0...(4-3.{b}^{2})/a.b \in Q(racionais)$ ${f(2)}^{2}={(a+b\sqrt[]{3}})^{2}\Rightarrow 4={a}^{2}+2.ab\sqrt[]{3}+3.{b}^{2}...\sqrt[]{3}=(4-3.{b}^{2})/a.b,p/a,b\neq 0...(4-3.{b}^{2})/a.b \in Q(racionais)$ ,logo uma contradiçao...entao f nao é um homomorfismo,e como consequencia nao é um isomorfismo...

$\phi:R\rightarrow S$ $\phi:R\rightarrow S$ é por hipotese um homomorfismo,logo é injetivo,entao:
$NUC[\phi]=$ { $x \in R/\phi(x)={0}_{S}$ }...entao:
${0}_{S}=\phi({0}_{R})=\phi({1}_{R}.m)=\phi({1}_{R}).\phi(m)={1}_{s}.\phi(m)={1}_{S}.n\Rightarrow$ existe $k \in S$ ,tal que k divide ${1}_{S},n...$ ,como ${1}_{S}$ divide apenas ele proprio,logo n=km...

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