[Estruturas Algébricas] Isomorfismo

por **Pessoa Estranha** » Qui Nov 13, 2014 16:49

Olá, pessoal!

Estou com dúvidas num exercício.

"Prove que: $G = \{{2}^{m}{3}^{n}, m,n \in Z \}$ e $J = \{m + ni \in C, m,n \in Z \}$ são subgrupos de, respectivamente, $(\Re, .)$ e (C, +)

. Prove que G e J são isomorfos."

Provar que são subgrupos eu consegui. O problema está na segunda parte, provar que G e J são isomorfos. Não precisamos de uma aplicação f: G -> J definida por uma lei e tal que devemos mostrar que é homomorfismo de grupos e, depois, que é bijetora? Se não, como posso resolver isto sem uma lei definida?

Muito Obrigada!

por **adauto martins** » Sex Nov 14, 2014 11:24

seja $f:G\rightarrow J$ tal q. $f({2}^{m}.{3}^{m})=m+ni...m,n\in N$ ...temos q. mostrar q. f e bijetiva e homomorfica de subgrupos G,J...
$x={2}^{m}{3}^{n},y={2}^{p}{3}^{q}\Rightarrow se x\neq y,{2}^{m}.{3}^ {n}\neq {2}^{p}{3}^{q}\Rightarrow {2}^{m-p}{3}^{n-q}\neq 1={2}^{0}.{3}^{0}\Rightarrow m\neq p e n\neq q \Rightarrow$
$m+ni\neq p+qi\Rightarrow f(x)\neq f(y)$ ,logo f e injetiva...
seja $\Rightarrow \exists x\in G, x={2}^{a}.{3}^{b}/f(x)=f({2}^{a}.{3}^{b})=a+bi=y...$ f e sobrejetiva,logo f e bijetiva...
dados $x={2}^{m}{3}^{n},y={2}^{p}.{3}^{q},f(x.y)=f({2}^{m}.{3}^{n}.{2}^{p}.{3}^{q})=f({2}^{m+p}.{3}^{n+q})=(m+p)+(n+q)i=(m+ni)+(p+qi)=f(x)+f(y)$ q. e um homomorfismo de subgrupos...