[Fatoração] Apics

por **chronoss** » Qua Abr 24, 2013 16:19

Dados os números x , y , z tais que : x + y + z = 1 , x² + y² + x² = 2 , x³ + y³ + z³ = 3 . Calcule : x? + y? + z?.

Resposta : 25/6

Obs: Tentei diversas vezes sem sucesso

por **young_jedi** » Sex Abr 26, 2013 19:37

substituindo a segunda equação

2+2(xy+xz+yz)=1

temos ainda que

(x+y+z)^3=1

x^3+y^3+z^3+3x^2y+3x^2z+3y^2x+3y^2z+3z^2x+3z^2y+6xyz=1

3+3(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+2xyz)=1

$x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+2xyz=\frac{-2}{3}$

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3+2xyz=\frac{-2}{3}$

$1.2-3+2xyz=-\frac{2}{3}$

$xyz=\frac{1}{6}$

portanto temos que

$(xy+xz+yz)(x^2+y^2+z^2)=-\frac{1}{2}.2$

x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y+x^2yz+y^2xz+z^2xy=-1

x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y+x^2yz+y^2xz+z^2xy=-1

x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y+(xyz)(x+y+z)=-1

$x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y+\frac{1}{6}.1=-1$

$x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y=-\frac{7}{6}$

mais nos sabemos que

(x+y+z)(x^3+y^3+z^3)=1.3

x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+y^3x+y^3z+z^3x+z^3y=3

substituindo a outra relação encontrada temos

$x^4+y^4+z^4-\frac{7}{6}=3$

$x^4+y^4+z^4=\frac{7}{6}+3$

$x^4+y^4+z^4=\frac{25}{6}$

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