Soma de Dois Radicais Cúbicos

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Soma de Dois Radicais Cúbicos

Mensagempor sony01 » Sex Abr 27, 2012 12:10

A expressão x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} é múltiplo de 4. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique matemáticamente.

Cálculo

Eu sei que: (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}

x^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3

x^3 = 20 + \not 14 \sqrt{2} + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^2 \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^2 + 20 - \not 14 \sqrt{2}

x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]

x^3 = 40 + 3( \sqrt[3]{400 - 392}) \cdot \left[ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right]

Mas, x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}, então eu posso substituir:

x^3 = 40 + 3\sqrt[3]{8} \cdot x
x^3 = 40 + 6x
x^3 - 6x - 40 = 0
x^3 - 64 - 6x + 24 = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16) - 6(x - 4) = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 16 - 6) = 0
(x - 4) \cdot (x^2 + 4x + 10)

Resolvendo (x - 4):

x - 4 = 0
x = 4

Logo, verdadeira!
Pessoal, primeiramente gostaria de saber se existe algum modo "mais fácil" de se chegar a este resultaldo, também gostaria de saber o nível dessa questão de 1 a 10 tendo como base um aluno do 9º ano.

Desde já Agradeço! :)
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.

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