Álgebra: Teoria dos conjuntos3

por **Caeros** » Seg Mar 07, 2011 19:40

Estou estudando Teoria dos Conjuntos, agradeço o apoio de voces. Por favor veja se minha solução faz sentido:

Seja A = {1,2,3}. Considere as seguintes relações em A:
${R}_{1}$ = {(1,2);(1,1);(2,2);(2,1);(3,3)}
${R}_{2}$ = {(1,1);(2,2);(3,3);(1,2);(2,3)}
${R}_{3}$ = {(1,1);(2,2);(1,2);(2,3);(3,1)}
${R}_{4}$ = AxA;
${R}_{5}$ = $\O$
Quais são reflexivas?Simétrica? anti-simétricas? e Transitivas?

Solução:
Reflexivas: ${R}_{1}$ ; ${R}_{2}$ ; ${R}_{4}$ ;
Pergunto: Porque o conjunto vazio não é reflexivo?
Simétricas: ${R}_{1}$ ; ${R}_{4}$ ;
Pergunto: o Conjunto Vazio é simétrico ou não?Porquê?
Transitivas: ${R}_{1}$ é transitiva pois, (1,2) $\in$ ${R}_{1}$ ;(2,2) $\in$ ${R}_{1}$ e obviamente implica que (1,2) $\in$ ${R}_{1}$ ; como também (2,1) $\in$ ${R}_{1}$ ;(1,2) $\in$ ${R}_{1}$ implica que (2,2) $\in$ ${R}_{1}$ ; ok?
${R}_{2}$ não é transitiva pois, (1,2) $\in$ ${R}_{2}$ ;(2,3) $\in$ ${R}_{2}$ , mas (1,3) $\not\in$ ${R}_{2}$ ;
${R}_{3}$ não é transitiva pois (1,2) $\in$ ${R}_{3}$ ; (2,3) $\in$ ${R}_{3}$ ; mas, (3,1) $\not\in$ ${R}_{3}$ ;
${R}_{4}$ é transitiva;
Pergunto: conjunto Vazio é transitivo, porquê? ;
Anti-Simétrica: ${R}_{2}$ ; ${R}_{3}$ ; ${R}_{5}$ .

por **LuizAquino** » Ter Mar 08, 2011 12:18

Caeros escreveu:Pergunto: Porque o conjunto vazio não é reflexivo?

$R_5=\varnothing$ não é reflexiva porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A.

Caeros escreveu:Pergunto: o Conjunto Vazio é simétrico ou não?Porquê?

$R_5=\varnothing$ é simétrica. Lembre-se que para ser simétrica é necessário que se (a, b) esteja em R então (b, a) também deve estar. Isto é, o único problema é se acontecer de (a, b) está em R, mas (b, a) não estar. Esse problema não acontece em R_5

.

Caeros escreveu: ${R}_{3}$ não é transitiva pois $(1,2)\in{R}_{3}$ ; $(2,3)\in{R}_{3}$ ; mas, $(3,1)\not\in{R}_{3}$ ;

Correção: "(...), mas $(1,3)\not\in{R}_{3}$ "

Caeros escreveu:Pergunto: conjunto Vazio é transitivo, porquê?

Uma relação R não é transitiva se acontecer de (a, b) e (b, c) está em R, mas (a, c) não está. Esse problema não acontece em $R_5=\varnothing$ .

Observação
A todo momento você pergunta se o "conjunto vazio" é reflexivo, simétrico, transitivo, etc. Tome cuidado! O que são classificados em reflexivo, simétrico ou transitivo são as relações, não os conjuntos. Por exemplo, não faz sentido perguntar se o conjunto A={1, 2, 3} é simétrico, transitivo, reflexivo, etc.

por **Caeros** » Ter Mar 08, 2011 22:30

Obrigado Luiz pelas orientações!
Mesmo assim tenho um questionamento:
a relação ${R}_{5}$ para o cojunto A citado não é reflexiva , pois, "porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A."
Analogamente não seria este o mesmo motivo para esta relação não ser simétrica e nem transitiva, por não apresentar elementos? :?:

por **LuizAquino** » Qua Mar 09, 2011 10:28

Caeros escreveu:a relação ${R}_{5}$ para o cojunto A citado não é reflexiva , pois, "porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A."
Analogamente não seria este o mesmo motivo para esta relação não ser simétrica e nem transitiva, por não apresentar elementos?

Não!

Vamos pensar um pouco...

O que deve acontecer para uma relação não ser reflexiva? Basta que ela não tenha algum dos elementos (a, a), com a em A. Por exemplo, por que R_3

não é reflexiva? Porque (3, 3) não está em R_3

. O motivo é análogo para ${R}_{5}$ .

Para que uma relação não seja simétrica basta que (a, b) esteja em R, mas (b, a) não esteja. Por exemplo, ${R}_{2}$ não é simétrica, já que (1, 2) está na relação, mas (2, 1) não está.
Note que em ${R}_{5}$ esse problema não ocorre. Isto é, não há na relação um par (a, b) tal que (b, a) não esteja. Portanto, ela é simétrica.

Por fim, para que uma relação R não seja transitiva basta ocorrer que (a, b) e (b ,c) esteja em R, mas (a, c) não esteja. Por exemplo, ${R}_{3}$ não é transitiva, pois $(1,2)\in{R}_{3}$ e $(2,3)\in{R}_{3}$ , mas $(1, 3)\not\in{R}_{3}$ . Novamente, note que esse problema não ocorre em ${R}_{5}$ . Isto é, não há elementos (a, b) e (b ,c) na relação tal que (a, c) não esteja. Um outro exemplo de relação transitiva no conjunto A dado seria R = {(1, 1)}. Note que não há elementos (a, b) e (b ,c) na relação R tal que (a, c) não esteja em R.

por **Caeros** » Qua Mar 09, 2011 10:41

Ok

Luiz;
Obrigado por colaborar, realmente nem nos livros são claros em relação a isto, e nem nos bancos das universidades há professores que tragam explicação clara, para ter uma idéia um professor de uma renomada academia aqui onde moro disse que a explicação é porque foi convencionada assim!!Valeu.

por **LuizAquino** » Qua Mar 09, 2011 11:04

Caeros escreveu:nem nos bancos das universidades há professores que tragam explicação clara

Observação: Eu sou Professor Universitário e acredito ter esclarecido isso para você. Sendo assim, procure não afirmar coisas como essa. Além disso, existem muitos outros Professores nas Universidades que também deixariam isso claro para você.

por **Caeros** » Dom Mar 13, 2011 01:01

Realmente fiquei intrigado com a resposta que recebi do professor aqui na universidade, da qual citei, e acabei generalizando, pois sabia de certa forma que não era a resposta que ele deveria me dar, mas enfim reconheço a importância dos professores em nossa vida e que o que postei anteriormente está errado. Obrigado novamente professor!

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