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por **fttofolo** » Sex Nov 19, 2010 11:05

prove que
$\sqrt[3]{2+\sqrt[2]{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt[2]{5}}=1$

por **alexandre32100** » Sex Nov 19, 2010 13:18

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \text{ (HI)}$
Se elevarmos as duas expressões ao cubo temos:
$\left ( \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right )^3=1^3=1$

É bom lembrar que (a+b)^3=a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

.
Aplicando isso à equação do problema:
$\\2+\sqrt{5}+3\cdot\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}+3\cdot\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}+2-\sqrt{5}$
$\text{Obs: } (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-5=-1 \text{ e }\sqrt[3]{-1}=-1$ , assim:
$4+3\cdot\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(-1)}+3\cdot\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})(-1)}=4-3\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)$
Pela HI, $4-3\cdot1=1$ , cqd.

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