Ajuda Matemática

por **barbara-rabello** » Sáb Fev 23, 2013 21:19

Tenho a integral $\int\int \frac{1}{\sqrt[]{{u+\frac{v^{2}}{4}}}}$
com $0\leq u\leq 2\\0\leq v\leq 1$

Tentei inegrar primeiro o v (por substituição trigonométrica) e cheguei a $\int \frac{sec \theta}{u}d\theta$
mas não sei como usar os intervalos de v nem como calcular a outra integral.

por **young_jedi** » Seg Fev 25, 2013 21:21

não entendia a substituição que voce fez, foi essa

$\frac{v}{2}=\sqrt{u}.tg\theta$

$dv=2.\sqrt u\sec^2\theta.d\theta$

então integral fica

$\int\int\frac{2.\sqrt u\sec^2\theta}{\sqrt{u+u.tg^2\theta}}.d\theta.du$

$\int\int\frac{2.\sqrt u\sec^2\theta}{\sqrt{u}.sec\theta}.d\theta.du$

$2\int\int \sec\theta.d\theta.du$

??

por **barbara-rabello** » Seg Fev 25, 2013 22:41

Eu fiz totalmente diferente de você.

Na verdade, eu fiz $v = 2 \sqrt[]{u}tg\theta$ .

Por isso deu errado.

E posso substituir $sec\theta$ por $\frac{\sqrt[]{u+\frac{v^{2}}{4}}}{\frac{v}{2}}$ dx ?

por **barbara-rabello** » Seg Fev 25, 2013 23:26

Esqueci de colocar um 2 multiplicando a raiz no denominador da integral.

Resolvi pelo seu método, chegando à $\int_{}^{}sec \theta d\theta du$
e substituí pelo valor que coloquei no post acima.
Substituí os valores e resolvi a última integral, considerando a raiz com 1/2.

E depois de substituir os valores de integração, cheguei em $2(\frac{9}{4})^{\frac{3}{2}}$
que é igual a $\frac{27}{4}$ .

Mas o gabarito é $\frac{1}{2} +ln2$ .

Não sei aonde esetou errando!

por **young_jedi** » Ter Fev 26, 2013 14:19

então a integral de

$\int sec\theta d\theta=ln(sec\theta+tg\theta)$

substituindo

$\int sec\theta d\theta=ln(\sqrt{1+tg^2\theta}+tg\theta)$

como

$v=2.\sqrt{u}.tg\theta$

então

$\int \frac{1}{\sqrt{u+\frac{v^2}{4}}}dv=2.ln(\sqrt{1+\frac{v^2}{4u}}+\frac{v}{2\sqrt u})$

aplicando o intervalo de 0<v<1

$\int \frac{1}{\sqrt{u+\frac{v^2}{4}}}dv=2.ln(\sqrt{1+\frac{v^2}{4u}}+\frac{v}{2\sqrt u})\Big|_{0}^{1}$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{u+\frac{v^2}{4}}}dv=2.ln(\sqrt{1+\frac{1}{4u}}+\frac{1}{2\sqrt u})-ln(1)$

$2.ln(\sqrt{1+\frac{1}{4u}}+\frac{1}{2\sqrt u})-ln1=2.ln(\frac{\sqrt{4u+1})}{2\sqrt u}+\frac{1}{2\sqrt u})$

$2.ln(\frac{\sqrt{4u+1})}{2\sqrt u}+\frac{1}{2\sqrt u})=2.ln(\sqrt{4u+1}+1)-ln u-2.ln 2$

aogra tem que resolver essa integral em u

$\int_{0}^{2}2.ln(\sqrt{4u+1}+1)-ln u-2.ln 2 du$

porem ainda não encontrei uma maneira de resolve-la vou continuar pensando sem tiver alguma novidade comente...

por **marinalcd** » Ter Fev 26, 2013 15:44

Também não sei fazer essa integral não.

Quando souberem a resposta postem aqui!

por **barbara-rabello** » Ter Fev 26, 2013 16:42

Olá!

Estou tentando sair dessa também.

Uma dúvida: Não entendi o porque apareceu 4u no denominador na raiz. E nem porque o 2 passou para fora no ln.
Ele só multiplica a raiz, porque saiu com ele?

Não entendi muito bem sua resolução, eu substituí diferente: $sec\theta=\frac{2\sqrt[]{u+\frac{v^{2}}{4}}}{v}$
Eu cheguei em $\int sec\thetad\theta = ln(\frac{2\sqrt[]{u+\frac{v^{2}}{4}}}{v}+ \frac{v}{2\sqrt[]{u}})$ .

Aí, eu substituí os intervalos de integração e cheguei na seguinte integral

$\int_{0}^{2} 2ln (\sqrt[]{u+\frac{1}{4}}+ln\sqrt[]{u})du$ .
Mas não consegui sair daí.

por **young_jedi** » Ter Fev 26, 2013 18:29

eu usei essa relação

$v=2\sqrt{u}tg\theta$

$v^2=4u.tg^2\theta$

$\frac{v^2}{4u}=tg^2\theta$

$\frac{v^2}{4u}=\frac{sen^2\theta}{cos^2\theta}$

$\frac{v^2}{4u}=\frac{1-cos^2\theta}{cos^2\theta}$

$\frac{v^2}{4u}=\frac{1}{cos^2\theta}-1$

$1+\frac{v^2}{4u}=\frac{1}{cos^2\theta}$

$1+\frac{v^2}{4u}=sec^2\theta}$

$\sqrt{1+\frac{v^2}{4u}}=sec\theta}$

ai quando substitui no resultado a integral de secante e substitui os intervalos de integração se chega em

$2\int_{0}^{2}ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{4u}}+\frac{1}{2\sqrt u}\right)du$

por **young_jedi** » Sáb Mar 02, 2013 15:32

pensei em fazer diferente agora, primeiro integrar em u e depois em v

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{u+\frac{v^2}{4}}}du.dv$

integrando em u

$\int_{0}^{1}2\sqrt{u+\frac{v^2}{4}}\Big|_{0}^{2}dv$

$2.\int_{0}^{1}\left(\sqrt{2+\frac{v^2}{4}}-\frac{v}{2}\right)dv$

$2.\int_{0}^{1}\sqrt{2+\frac{v^2}{4}}dv-\int_{0}^{1}vdv$

estas duas integrais são mais faceis de se resolver, tentem faze-las e comente as duvidas

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