Circunferencia

por **Mic_17** » Qua Ago 22, 2012 17:03

Por favor, preciso de ajuda com essa questão!!!
(Unifal-MG) Seja a circunferencia C de equação x^2+y^2+6raiz(3)x-6y+27=0. Determine a abscissa e a ordenada do ponto P de C que esteja o mais próximo possível da origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Minha resolução:
* d(CO)=raiz((-3raiz(3))^2 + (3)^2 = raiz(9.3+9) = raiz(36) = d(CO)= 6 (distancia do centro C a origem O é 6.)
* Descobrir coeficiente angular da reta CO: m=y-yi/x-xi = 3-0/-3raiz(3)-0 = 3/-3raiz(3) = -raiz(3)
* equação reduzida da reta: y = mx -> y = -raiz(3)x

Daí eu tento substituir na equação da circunferencia mas o resultado não dá certo!!
A resposta é: xp=-3raiz(3)/2 e yp=3/2

por **Russman** » Qua Ago 22, 2012 23:42

Suponhamos que o ponto

seja

. Assim, a distância desse ponto até o Origem é

d^2 = x_P^2 + y_P^2

.

Ainda, sabemos que esse ponto deve satisfazer a equação da circunferência $x^2 + y^2 +6\sqrt{3}x-6y+27=0$ .

Assim, temos de solucionar o sistema

$\left\{\begin{matrix} x_P^2 + y_P^2 +6\sqrt{3}x_P-6y_P+27=0\\ x_P^2 + y_P^2 = d^2 \end{matrix}\right.$

que é, na verdade, a busca do ponto de intersecção entre duas circunferências! Combinando as equações e tentando expressar uma equação em

na presença de

, temos, substituindo

na primeira( a apartir de agora simplificarei a notação para x_P = x

e

.)

$d^2 +6\sqrt{3}x - 6 \sqrt{d^2-x^2}+27=0$

de onde chegamos em

$144x^2 + 12\sqrt{3}(d^2+27)^2x+d^4+18d^2+729 = 0$ .

Lembre-se que qeremos que esta equação tenha apenas 1 solução. Logo, o discriminante da mesma, o Delta, deve ser nulo. Fazendo isso, chega-se a equação em

.

a qual apresenta duas soluções possíveis: d=3

ou

. Como qeremos a menor, tomamos d=3

.

Se

a equação $144x^2 + 12\sqrt{3}(d^2+27)^2x+d^4+18d^2+729 = 0$ se transforma em $144x^2 + 432\sqrt{3}x+972=0$ a qual tem duas soluções iguais $x=-\frac{3}{2}\sqrt{3}$ .

Agora basta calcular

. De $d^2 +6\sqrt{3}x - 6 y+27=0$ temos $y= \frac{3}{2}$ como resposta.

Logo o ponto é $P(-\frac{3}{2}\sqrt{3} , \frac{3}{2})$ .

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