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Função Composta

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Mensagempor Russman » Sex Ago 17, 2012 00:00

Seja f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} uma função tal que, dados dois Reais a e b, f(a+b) = f(a).f(b).

Determine as soluções f=f(x) possíveis.

Alguma idéia?
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Sex Ago 17, 2012 02:47

Não compreendi a questão. Determinar as soluções f=f(x)? Ou seria f' = f(x)?
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Re: Função Composta

Mensagempor Russman » Sex Ago 17, 2012 15:54

Não! O problema pede que determinemos qual função que detém tal propriedade.

Eu acredito que seja a exponencial: f(x) = c.e^{kx}, c,k constantes reais.
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Sex Ago 17, 2012 16:30

Detém qual propriedade? É isto que não entendi até agora.
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Re: Função Composta

Mensagempor Russman » Sex Ago 17, 2012 17:12

A propriedade f(a+b) = f(a) . f(b).

Não ta aparecendo no enunciado?
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Sex Ago 17, 2012 18:34

Sim, mas acho que este enunciado está mal escrito. Ele quer determinar todas as funções que satisfaçam esta propriedade? A exponencial é claro, falta provar que é a única. Mesmo assim, tenho dúvidas se não precisamos mostrar que f' = f(x).
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Re: Função Composta

Mensagempor Russman » Dom Ago 19, 2012 21:20

Como poderíamos mostrar qe a Exponencial é a única solução?
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Dom Ago 19, 2012 21:48

Se for a sua questão original, continuo sem saber como resolver. Se for \frac{df}{dx} = f(x) então a unicidade segue pelo teorema de existência e unicidade de equações diferenciais ordinárias.
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Re: Função Composta

Mensagempor Russman » Dom Ago 19, 2012 22:14

Sim, sim!

Qual o problema com a notação f=f(x)? Apenas mostra que f é uma função da variável Real x.
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Dom Ago 19, 2012 22:26

Não está errado, apenas não faz sentido como caracterização de função, não dá informações sobre "soluções". Você quer encontrar funções tal que a imagem da soma seja produto das imagens, e tenho quase certeza de que não é suficiente para caracterizar a função exponencial.
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Re: Função Composta

Mensagempor fraol » Seg Ago 20, 2012 21:03

Boa noite,

Vou dar o meu pitaco nessa questão.

Primeiro, sabemos que a função exponencial é uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais e a imagem é conjunto dos reais positivos a sua expressão algébrica, ou lei de formação, é f(x) = a^x, com a>0 e a \neq 1.

Vamos analisar as propriedades que podemos obter de uma função f tal que f(a + b) = f(a) \cdot f(b).

1) f é sempre positiva, pois: f(a) = f(\frac{a}{2} + \frac{a}{2}) = f(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}) = f(\frac{a}{2})^2 > 0.

2) f(0) = 1, pois: f(a) = f(a + 0) = f(a) \cdot f(0) = f(a).

3) f(-a) = f(a)^{-1}, pois: f(0) = f(-a+a) = f(-a) \cdot f(a) = 1.

Será que isso dá para caracterizar a tal f como a função exponencial e mais, a única função com essas propriedades?

O que vocês dizem?

.
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Seg Ago 20, 2012 22:08

Na sua primeira conclusão está incorreto, pois f \left( \frac{a}{2} \right)^2 \geq 0. Você não pode afirmar que é maior que zero sempre (com apenas isso). Na segunda, deveria poder assumir que f(a) \neq 0, o que não fez. Afirmar que f(a) \cdot f(0) = f(a) está tacitamente assumindo que f(0)=1, que é o que quer provar. Para a terceira, está tudo OK, pois você partiu que f(0)=1.

Existe um ponto importante, tudo isso é satisfeito para a^x mas, se incluírmos a propriedade que \frac{df}{dx} = f(x) com f(0)=1, então f(x) = a^x não é solução, e sim f(x) = e^x. Tanto que definimos e trabalhamos sempre com ela e chegamos nas outras a partir dela.

Temos também a caracterização por série de potências (que eu particularmente prefiro).
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Re: Função Composta

Mensagempor fraol » Seg Ago 20, 2012 22:24

Ok. Você está certo, aliás devemos assumir que f(a) \neq 0 para valer 3 e, então valem, automaticamente, 1 e 2.

Quanto à derivada, dá pra inferir a partir de f(a+b) = f(a) \cdot f(b) ? ( e^x não é um caso particular de a^x? )


Editado: o a em f(a) é um x do domínio e o a de a^x é uma base - pode ficar um pouco confuso eu ter usado o mesmo símbolo para duas coisas diferentes.
.
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Re: Função Composta

Mensagempor Russman » Seg Ago 20, 2012 22:52

MarceloFantini escreveu:Ele quer determinar todas as funções que satisfaçam esta propriedade?


Sim!

.
MarceloFantini escreveu:Você quer encontrar funções tal que a imagem da soma seja produto das imagens, e tenho quase certeza de que não é suficiente para caracterizar a função exponencial.


Pois é, não é. Mas essa é a questão. O problema pede todas as soluções-funções possíveis. A exponencial ser a única é uma particularidade.

Obrigado pelas contribuições, amigos! (:
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Seg Ago 20, 2012 23:01

Não, note que você tem que impor a condição sobre a diferenciabilidade. Não é um caso particular. Sobre o editado, não houve confusão (para mim).
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Re: Função Composta

Mensagempor Russman » Ter Ago 21, 2012 00:40

Eu quis dizer que a exponencial genérica f(x) = c.e^{ax} ser solução única ( no caso de classificar funções: exponencial, harmonica, polinomial, etc...) é uma caracteristica particular da equação. Não que a exponencial f(x) = e^x é uma solução particular. Sei que para isto deveríamos acrescentar informações ao problema, como valores iniciais.
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Ter Ago 21, 2012 01:12

Para isso basta provar o caso f(x) = e^x.
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Re: Função Composta

Mensagempor fraol » Qua Ago 22, 2012 11:36

Bom dia,

Gostaria de fazer uma ressalva aqui:

fraol escreveu:Ok. Você está certo, aliás devemos assumir que f(a) \neq 0 para valer 3 e, então valem, automaticamente, 1 e 2.


Assumir que f(a) \neq 0 não é uma condição, é uma propriedade oriunda da propriedade geral dada no início ( f(a+b) = f(a) \cdot f(b) ). Isto ocorre pois se f for nula para algum x = x_0 então ela será nula para todo o x.

.
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Qua Ago 22, 2012 12:09

É verdade, mas você não tinha explicitado isso até então. :) Eu já sabia disso.
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Re: Função Composta

Mensagempor fraol » Qua Ago 22, 2012 12:19

É que o meu raciocínio é mais lento e tá fatiado, igual um certo julgamento ... :)
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Re: Função Composta

Mensagempor MarceloFantini » Qua Ago 22, 2012 12:26

Não estou julgando. Essa é uma questão interessante e é importante pegar os pontos sutis dela. Como já sabemos que é verdadeira, mesmo que não saibamos justificar, é muito relevante os detalhes que assumimos ou não. Meu último comentário era pra ser em tom de observação, não de julgamento. Desculpe pelo mal-entendido.
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Re: Função Composta

Mensagempor fraol » Qua Ago 22, 2012 12:54

Ok, tranquilo, eu entendi, até achei que você estava brincando, eu sim. O certo julgamento ao qual me referi é aquele de Brasília, que está fatiado ... As suas colocações são sempre muito boas e, em geral, precisas. Gosto de discutir esses assuntos também.

Agora voltando ao problema em si, você se refere a qual justitifativa em
Como já sabemos que é verdadeira, mesmo que não saibamos justificar ...
?

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Re: Função Composta

Mensagempor Russman » Qua Ago 22, 2012 16:24

Sabemos que a solução geral é a exponencial genérica. Mas provamos isso por verificação e não por dedução.
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.