Volume do solido

por **ivoski** » Ter Ago 14, 2012 17:38

Preciso de uma ajuda nesta questao, abraços a todos

Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies y=0, y= 1-x² , x²+z=1 e z=0

por **LuizAquino** » Qui Ago 16, 2012 21:26

ivoski escreveu:Preciso de uma ajuda nesta questao, abraços a todos

Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies y=0, y= 1-x² , x²+z=1 e z=0

Você precisa determinar uma função $z = f(x,\, y)$ (tal que $f(x,y) \geq 0$ ) e uma região no plano xy dada por $R = \{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2 \,|\, a \leq x \leq b,\, g_1(x)\leq y \leq g_2(x) \}$ . Nesse caso, o volume desejado será:

$\displaystyle V = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,\,y)\,dy \,dx$

De x^2 + z = 1

, você pode escrever z = 1 - x^2

. Note que você pode enxergar z como uma função de x e y (mesmo que y não apareça em sua expressão). Ou seja, você pode escrever que $z = f(x,\,y) = 1 - x^2$ . Além disso, note que $f(x,\,y) \geq 0$ , pois o sólido deve estar delimitado inferiormente pelo plano z = 0 (ou seja, o plano xy).

Considerando agora que o sólido também está delimitado pelo plano y = 0 (ou seja, o plano xz) e pela superfície y = 1 - x^2

, podemos obter a região no plano xy dada por $R = \{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2 \,|\, -1 \leq x \leq 1,\, 0\leq y \leq 1 - x^2\}$ .

Usando todas as informações, o volume procurado será dado por:

$\displaystyle V = \int_{-1}^1 \int_{0}^{1 - x^2} 1 - x^2\,dy \,dx$

Agora tente concluir o exercício.