[problema de mínimo]

por **[t]** » Ter Jul 24, 2012 01:24

Não consigo sair do lugar nesse problema:
Um oleoduto tem a forma da curva y=1-x^2

com $0\leq x\leq 1$ , x e y medidos em quilômetros. Será construída uma cerca tangente à curva y=1-x^2

no ponto P diferente (0,1) . Determine as coordenadas do ponto P de modo que a área da região triangular formada pela cerca e pelos eixos seja mínima.

Eu pensei assim:
A área triangular é formada pela tangente a curva de y no primeiro quadrante com x entre 0 e 1.
A reta tangente é a hipotenusa do triangulo que quero minimizar a área.
Encontrando a equação da reta tangente:
$f^\prime(x)\ = -2x$
reta tangente: (x= a é o ponto da curva y=1-x^2

onde a reta tangente minimiza o triângulo)
y-f(a) = -2a(x-a)

sei também que a hipotenusa que é a reta tangente vale $=\sqrt{a^2+f(a)^2}$
Tentei sair disso várias vezes mas faço um monte de contas e nunca chego em lugar algum.
Se alguém puder me ajudar, agradeço

por **Russman** » Ter Jul 24, 2012 10:29

Qual a grandeza que você precisa minimizar? A área do triângulo. Portanto, você deve ter como objetivo a construção desta como função de um parâmetro interessante do problema.

Seja g(x)

a reta tangente de y(x) = 1-x^2

no ponto

. Como você ja calculou, teremos

g(x) = -2ax + a^2+1

.

Note, como observação, que deverão existir dois pontos

que satisfazem o problema. Ambos com mesma ordenada e de abscissas simétricas. É fácil verificar este fato desenhando um ponto

hipotético sobre a curva y(x)

entre

e

e , em seguida, entre

e

e
traçando tangente a eles a reta g(x)

. Verificamos que em a>0

a inclinação da mesma deve ser negativa, como previsto pela equação de g(x)

. Do contrário, se a<0

a inclinação deve ser positiva como também previsto.

A área de um triângulo retângulo de catetos

e

é dada por $A=\frac{bc}{2}$ . Assim, como queremos determinar o ponto

, isto é, calcular o valor

, é pertinente que expressemos A = A(a)

, isto é, a área do triângulo como uma função de

.
Os pontos de intersecção da reta g(x)

com os eixos delimitam os catetos do triângulo. Assim, tomando os pontos, por exemplo, (b,0) e (0,c) como os de intersecção temos

$\left\{\begin{matrix} g(b)=0\\ g(0)=c \end{matrix}\right.$ ,

de onde

$\left\{\begin{matrix} g(b)=0\\ g(0)=c \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2ab+a^2+1=0\\ a^2+1=c \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b=\frac{a^2+1}{2a}\\ c=a^2+1 \end{matrix}\right.$ .

Logo, a área em função do ponto P(a,y(a))

é dada por

$A=\frac{1}{2}\left (\frac{a^2+1}{2a} \right )\left ( a^2+1 \right )=\frac{1}{4a}\left ( a^2+1 \right )^2$ .

Você obterá o ponto mínimo calculando para qual a que

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a}A(a)=0$ .

por **[t]** » Ter Jul 24, 2012 15:03

Derivando $A^\prime(a)\$ e igualando a 0
$\frac{-(a^2+1)^2}{4a^2} + \frac{2(a^2+1)(2a)}{4a}$

$\frac{-a(a^2+1)^2 + 2(a^2+1)(2a)}{4a^2}$

vai ser igual a 0 quando:

= 0 , a diferente de zero

-a^5+2a^3+3a=0

, a não pode ser zero

(-a^4+2a^2+3)=0

h=-1 e h=3
$a=\sqrt{-1}$ e $a=+-\sqrt{3}$

P(a, y(a)) = ( $-\sqrt{3}$ , -2) ou ( $\sqrt{3}$ , -2)

então a resposta seria P( $\sqrt{3}$ , -2) ?

mas nesse x saiu do que foi pedido, deveria estar entre 0 e 1

não sei se as contas estão certas

por **Russman** » Ter Jul 24, 2012 21:32

Você se enganou na derivação!

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a}A(a)=0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a}\left (\frac{a^3}{4}+\frac{a}{2}+\frac{1}{4a} \right )=\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{4a^2}=0$

$\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{4a^2}=0\Rightarrow \frac{3a^4+2a^2-1}{4a^2}=0\Rightarrow 3a^4+2a^2-1=0$

$3a^4+2a^2-1=0 \Rightarrow a^2 = \left\{\begin{matrix} \frac{-2+4}{6} = \frac{1}{3}\\ \frac{-2-4}{6}=-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\\ a=\pm i \end{matrix}\right.$

As únicas soluções reais nos levam a

$\left\{\begin{matrix} P_1(a_1,1-a_1^2)=P(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2}{3})\\ P_2(a_2,1-a_2^2)=P(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2}{3}) \end{matrix}\right.$

Como previsto os pontos tem mesma ordenada e abscissas simétricas. E ainda -1<a<1