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[Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

[Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Qua Jun 27, 2012 21:28

Prove (por indução ) a fórmula de Leibniz

\left(f . g\right)^{(n)} = \sum_{i=0}^{n} \binom {n}{i} f^{(n-i) . g^{(i)} , onde \binom {n}{i} = \frac{n!}{i!\left(n-i\right)!} e a notação f^{(m)} significa derivar a função f m-vezes .

Alguém sabe como provar por indução ?

Grato desde já !
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor MarceloFantini » Qua Jun 27, 2012 23:21

Santhiago, o que você tentou? Provou o caso n=1?
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Qua Jun 27, 2012 23:29

Sim ,meu objetivo é provar para n = 1,2,3,4,...,n . Infelizmente não estou conseguindo agora , mas vou continuar tentando até amanha eu posto minha dificuldades .obrigado pela atenção !
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor MarceloFantini » Qua Jun 27, 2012 23:31

Eu perguntei se você conseguiu fazer a demonstração para n=1. Este é o primeiro passo para usar indução finita.
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Qui Jun 28, 2012 10:15

ah ! para n = 1 sim ! , veja :


\left(f.g\right)^{(1)} = \sum_{i=0}^{1} \binom {n}{i} f^{(n-i)} . g^{(i)} = \binom {1}{0} f^{(1)} . g^{(0)} + \binom {1}{1} f^{(0)} .g^{(1)}= f^{(1)} . g^{(0)} + f^{(0)} . g^{(1)}  = \ {f}'.g +f.{g}'

indução finita seria fazer n = (1,2,3,4,5, ..., n) ?
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Qui Jun 28, 2012 21:41

Continuando ....

paran = 2


\left(f.g\right)^{(2)} = \binom{2}{0} f^{(2)}.g^{(0)} + \binom{2}{1}f^(1).g^{(1)} +\binom{2}{2}f^{(0)} .g^{(2)}

\left(f.g\right)^{(2)} = f^{(2) }.g^{(0)} +2f^{(1)}.g^{(1)}+f^{(0)} .g^{(2)} .

Para n = 1 ,2 . é verdadeiro .

Supondo a validade para n vamos provar para n+1 .

\left(f.g\right)^{\left(n+1\right)} = \sum_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i} f^{\left(n+1 -i\right)} . g^{(i)} =

= \binom{n+1}{0} f^{\left(n+1\right)} .g^{(0)} +...+\binom{n+1}{n+1}f^{(0)} . g^{\left(n+1\right)}

Estou no caminho certo ?
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Qui Jun 28, 2012 21:43

Exercício sem resposta no livro ,não sei como que fica .
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor MarceloFantini » Sex Jun 29, 2012 01:31

Depois de provar para n=1 não é necessário provar para n=2. Até aí você estava certo, mas quando fez a igualdade (fg)^{(n+1)} = \sum_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i} f^{(n+1-i)}g^{(i)} errou, pois isto é o que você quer provar. Você deve sair de um dos lados da igualdade e chegar no outro, não assumir que é válido.
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Sex Jun 29, 2012 10:24

Marcelo Fantini , obrigado pela atenção . Qualquer evolução no exercício eu posto aqui .abraços .
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor brunoiria » Sex Jun 29, 2012 19:02

bom ,eu pensei em fazer assim
(fg)^{(n+1)}=D[(fg)^{n}]=D[\sum_{i}^{n} \binom{n}{i}f^{(n-i)}g^{(i)}] = D[f^{(n)}g]+D[nf^{(n-1)}g^{(1)}]+\dots+D[nf^{(1)}g^{(n-1)}]+D[fg^{(n)}]
derivando cada termo e reagrupando
f^{(n+1)}g+f^{(n)}g^{(1)}+nf^{(n)}g^{(1)}+nf^{(n-1)}g^{(2)}+\dots+nf^{(2)}g^{(n-1)}+nf^{(1)}g^{(n)}+f^{(1)}g^{(n)}+fg^{(n+1)}= f^{(n+1)}g+(n+1)f^{(n)}g^{(1)}+\frac{n(n+1)}{2}f^{(n-1)}g^{(2)}+\dots+\frac{n(n+1)}{2}f^{(2)}g^{(n-1)}+(n+1)f^{(1)}g^{(n)}+fg^{(n+1)}= \sum_{i}^{n+1} \binom{n+1}{i}f^{(n+1-i)}g^{(i)}
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Sáb Jun 30, 2012 09:58

brunoiria ,tudo bem ? obrigado pela solução ! Também tive esta ideia mas acho que "escapa " um pouco da expressão geral .abraços .Em breve posto minha solução .
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Sáb Jun 30, 2012 10:49

Bom ,acho que agora foi !!!

Continuando ....

para n+1 .

Propriedades

I) \binom{n-1}{i-1}+\binom{n-1}{i} = \binom{n}{i} (Triângulo de Pascal )

ii) \sum_{p=0}^{n-1} x_p = \sum_{p=1}^{n} x_{p-1}

Solução :

\left(f.g\right)^{(n+1)} = \left(f.g\right)^{(1)} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}f^{(n-i)} .g^{(i)}.


Aplicando a distributividade de produto ,temos :


\left(f.g\right)^{(n+1)}= f^{(n+1)} +\left(f^{(1)} .\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}f^{(n-i)} .g^{(i)}\right) +g^{(n+1)} +\left(g^{(1)} .\sum_{i=0}^{n-1} \binom{n}{i}f^{(n-i)} .g^{(i)}\right) .

Usando propriedade ii) ,temos :

\left(f.g\right)^{(n+1)}= f^{(n+1)} +\left(f^{(1)} .\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i}f^{(n-i)} .g^{(i)}\right) +g^{(n+1)} +\left(g^{(1)} .\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i-1}f^{(n-(i-1))} .g^{(i-1)}\right)

\left(f.g\right)^{(n+1)}= f^{(n+1)} +\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\binom{n}{i} +\binom{n}{i-1}\right) f^{(n-i+1)} .g^{(i)}\right) +g^{(n+i)} .

Usando a Relação (Stifel) ,obtemos :

\left(f.g\right)^{(n+1)}= f^{(n+1)} +\left(\sum_{i=1}^{n}\binom{n+i}{i}  f^{(n-i+1)} .g^{(i)}\right) +g^{(n+i)} .

Reagrupando o Somatório :

\left(f.g\right)^{(n+1)}=  \sum_{i=0}^{n+1}\binom{n+i}{i}  f^{(n-i)} .g^{(i)} .
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Jun 30, 2012 12:00

Cuidado! Você não está multiplicando derivadas. A notação confundiu você, perceba que (fg)^{(n+1)} = \left( (fg)^{(n)} \right)'. Sua primeira solução está correta.
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Sáb Jun 30, 2012 12:19

Marcelo Fantini ,mais uma vez obrigado .realmente a notação me confundiu ,entrei em contradição orá achei que (fg)^{(n+1)}  = \left((fg)^{n}\right)' (que é verdadeiro) e que (fg)^{n+1} = (fg)^{1} (fg)^{n} (falso ) ,neste caso eu acredito que a solução do "brunoiria" estar correta .Vou fazer novamente o mesmo .

OBS.: Exercício trabalhoso, (talvez pelo fato de ser o primeiro exercício de indução finita que faço!) mas divertido .
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Re: [Fórmula de Leibniz] Prove por indução ...

Mensagempor e8group » Dom Jul 01, 2012 15:53

Consegui concluir para n+1 .


\left(fg\right)^{n+1} = D\left[\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} f^{n-i} g^{i} \right] .

Expandirmos o somatório e derivando cada termo e reagrupando ,concluímos \left(fg\right)^{n+1} = \sum_{i=0}^{n+1} \binom{n+1}{i} f^{n-i} g^{i} \right] , que foi exatamente que o " brunoiria " fez acima . abraços a todos !
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.