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por Eliane Maria » Qua Abr 25, 2012 01:01
Eu preciso verificar se o conjunto dos reais positivos com a operação abaixo representa um grupo.
Eu preciso verificar três propriedades:
1) associatividade - foi verificada
2) existência de elemento neutro - foi verificada. O elemento neutro encontrado foi e =0.
3) existência de elemento simétrico. A minha dúvida é justamente nessa propriedade, pois preciso verificar se
x*x`= e = x`*x, onde x`é o elemento simétrico e "e" o elemento neutro encontrado anteriormente. O desenvolvimento ficou da seguinte forma:
. Elevando-se ambos os lados ao quadrado encontramos
. Isolando o x` (elemento simétrico) temos:
.
dúvida: posso extrair a raiz de um número negativo considerando o conjunto dos números reais positivos?
Essa questão está no livro álgebra moderna (Hygino Domingues).
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Eliane Maria
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por fraol » Qui Abr 26, 2012 23:49
Você não pode ter raiz quadrada de número negativo nesse domínio.
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por Eliane Maria » Sex Abr 27, 2012 12:28
Obrigada pela resposta. Foi o que eu pensei também. No livro do Hygino, diz que existe elemento simétrico.
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Eliane Maria
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por fraol » Sex Abr 27, 2012 12:55
Você poderia passar a página do livro que você encontrou o exercício, eu terei acesso ao livro no fim de semana e posso verificar.
No meu entendimento um conjunto munido com essa operação,
, não é um grupo pois não possui o elemento inverso.
Presumo que seja o caso da operação ser algo como
, isto é o índice e os expoentes devem ser ímpares para poder satisfazer a propriedade do elemento inverso.
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por Eliane Maria » Seg Abr 30, 2012 00:51
Na página 114, no exercício 105, ele pede para o leitor verificar se a operação é associativa. Resp. na página 352. é associativa.
Na página 116, no exercício 111, ele pede para verificar se a operação do exercício 105 tem elemento neutro. Resp. na página 352. tem elemento neutro.
Na página 119, no exercício 116, ele pede para o leitor determinar nas operações do exercício 105 que têm elemento neutro os elementos simetrizavéis. Resp. 352.
Você pode verificar se é isso mesmo?
Mais uma vez obrigada pela ajuda.
Eliane.
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por fraol » Seg Abr 30, 2012 20:39
Boa noite Eliane,
Verifiquei no livro, nesse último exercício, o 116, ele pede os elementos simetrizáveis.
Para o caso que estamos discutindo, somente o
é simetrizável para
.
De fato, o
único elemento que satisfaz a igualdade
é o
.
Portanto o conjunto
com a operação definida não é um grupo.
Grato.
.
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por Eliane Maria » Seg Abr 30, 2012 21:16
Olá Fraol,
desculpe, mas eu não entendi.
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por fraol » Seg Abr 30, 2012 21:32
Este exercício pede para você determinar os elementos simetrizáveis dos conjuntos dados.
No caso que estamos discutindo, o da letra c, somente o
é simetrizável, os demais elementos não possuem simétricos pois você cairia naquela impossibilidade da raiz real de número negativo.
Em contraponto, na letra d:
e
,
todos os elementos são simetrizáveis.
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fraol
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por Eliane Maria » Ter Mai 01, 2012 22:07
Olá Fraol,
muito obrigada pelo esclarecimento. Se fosse verificada a extração da raiz então posso afirmar que todos os elementos são simetrizáveis? logo a estrutura é um grupo?
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Eliane Maria
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por fraol » Ter Mai 01, 2012 22:19
Eliane Maria escreveu:Olá Fraol,
muito obrigada pelo esclarecimento. Se fosse verificada a extração da raiz então posso afirmar que todos os elementos são simetrizáveis? logo a estrutura é um grupo?
Sim. Se
todos os elementos do conjunto forem
simetrizáveis, existir o
elemento neutro e a
operação for associativa então a estrutura é um grupo.
.
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por Eliane Maria » Ter Mai 01, 2012 22:48
mais uma vez obrigada. Vou tentar fazer os outros exercícios.
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por Eliane Maria » Ter Mai 01, 2012 22:57
Fraol,
onde se aplica a teoria dos grupos?
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por fraol » Ter Mai 01, 2012 23:42
Oi
Eliane Maria,
É possível que aqui no forum tenhamos colegas mais preparados para responder essa pergunta.
No entanto, o que posso dizer é que, como muitas partes da matemática, essa teoria servia, inicialmente, a própria matemática.
Mas como ocorre, também com outros tópicos, as aplicações vão surgindo e hoje já há um bom leque delas.
Aqui tem um exemplo prático. Outros exemplos você poderá encontrar na física, na química, na computação, em jogos ( lembra daquele cubo mágico - há formas de resolvê-lo usando teoria dos grupos - um pouco sobre isso você encontra
aqui), etc.
No próprio livro que você está estudando os autores tocam em aplicações na introdução do capítulo IV a respeito desse assunto.
Bons estudos!
.
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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