numeros comlpexos,ajuda urgentissima

por **muxapore** » Dom Fev 05, 2012 12:55

achei essa pergunta em uma tarefa mas não consegui resolve-la.

ela é assim

Considere o número complexo . $\eta = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4} + i \dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ .
(a) Prove que $|\eta | = 1$ .

(b) Prove que $\eta^2 = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4} + i \dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ .
e como Dica eu tenho: $(1+\sqrt{5}) \sqrt{\left(10-2\sqrt{5}\right)} = \sqrt{\left(1+\sqrt{5} \right)^2 \left(10-2\sqrt{5}\right)}$ .

por **fraol** » Ter Fev 07, 2012 11:20

Os dois problemas são basicamente a aplicação de definições relacionadas aos números complexos, o segundo envolve um desenvolvimento algébrico um pouquinho mais elaborado. Nada muito complexo.

muxapore escreveu:
Considere o número complexo . $\eta = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4} + i \dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ .

Em geral todo número complexo é da forma algébrica z = a + bi

. Onde

é chamado de parte real do número complexo e

é chamado de parte imaginária do numero complexo. No seu caso temos $\eta = a + bi$ . Qual é o

e qual é o

nesse número?

(a) Prove que $|\eta | = 1$ .

O módulo de um número complexo é a sua distância à origem, no plano, e é dado pela fórmula $|\eta | = \sqrt{a^2 + b^2}$ . É só você substituir e fazer as contas.

(b) Prove que $\eta^2 = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4} + i \dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ .
e como Dica eu tenho: $(1+\sqrt{5}) \sqrt{\left(10-2\sqrt{5}\right)} = \sqrt{\left(1+\sqrt{5} \right)^2 \left(10-2\sqrt{5}\right)}$ .

Aqui você pode desenvolber assim $\eta^2 = (a + bi)^2 = (a +bi)(a + bi) = a^2 -b^2 + 2abi$ ( a^2

e

você já calculou no item a, lembrar também que i^2 = -1

). Basta então substituir, usar a dica e fazer as contas. Salvo algum probleminha de sinal, você deverá chegar ao resultado.

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