Geometria Espacial - Cones - UFMG 2001

por **felip3mg** » Ter Dez 06, 2011 12:16

Pessoal, boa tarde.
Estou estudando para a segunda etapa do vestibular da ufmg, e travei numa questão de matemática da prova de 2001.
Segue a questão (creio que a figura é desnecessária para minha dúvida):

Nessas figuras, estão representados os recipientes I e II.
O recipiente I está completamente cheio de água e tem a forma de um cone circular reto, com altura H e raio da base R1.
O recipiente II está vazio e também tem a forma de um cone circular reto, com a mesma altura H , mas com raio da base igual a R2.
A água contida em I é, então, vertida em II, até que o nível da água, em ambos os recipientes, tenha a mesma altura h.
Considerando essas informações, ESCREVA essa altura h em função de H, R1 e R2.

A apostila da Editora Bernoulli traz a seguinte resposta $h= H\sqrt[3]{\frac{{R1}^{2}}{{R1}^{2}+{R2}^{2}}}$

Tentei realizar a questão por meio de semelhança entre os volumes de cada cone, assim como também igualar com a semelhança do outro cone pois os dois ao meu ver tem a mesma constante cúbica.
Como seria o melhor modo de resolver essa questão?

por **joao_pimentel** » Qua Dez 14, 2011 21:06

Caríssimo, não é difícil

Lembre-se que o volume do cone é $V=\frac{A_b*H}{3}$ em que A_b

é a área da base e

é a altura

A área da base, porque é um círculo é $A_b=\pi.r^2$

Assim, a função Volume total é $V=\frac{\pi.r^2.H}{3}$

$V_1=\frac{\pi.{R_1}^2.H}{3}$

$V_2=\frac{\pi.{R_2}^2.H}{3}$

Lembre-se que se o cone não está cheio tem de tirar a parte superior que falta, ou seja o cone que está acima de

Assim a função do volume em função de h é $V_2(h)=\frac{\pi.{R_2}^2.H}{3}-\frac{\pi.{R_2}^2.(H-h)}{3}$

Lembre-se que o que saíu do rec. 1 é igual ao que entrou no rec. 2

Assim é só resolver esta equação em função de