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[Elipse, hipérbole, parábola] Dificuldade em exercícios!

[Elipse, hipérbole, parábola] Dificuldade em exercícios!

Mensagempor geo_nascimento » Dom Out 23, 2011 15:47

Boa tarde,
não consigo realizar umas questões de elipse e hipérbole ela tem cara de fácil mas pra mim é uma pedra no sapato:

Determinar a equação da elipse de centro C(0,0), focos no eixo de x, excentricidade e=2/3 e passa pelo ponto P(2,-5/3). Não sei por onde começar...

E tem essa também que tá dando uma dor de cabeça : Determine o centro, focos, semi-eixos, assíntota e reta diretriz (se houver) da equação 9x²-58y²+18y+29=0.

por favor me ajudem, tenho um teste sobre isso, obrigado!
geo_nascimento
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Re: [Elipse, hipérbole, parábola] Dificuldade em exercícios!

Mensagempor LuizAquino » Seg Out 24, 2011 16:33

geo_nascimento escreveu:não consigo realizar umas questões de elipse e hipérbole ela tem cara de fácil mas pra mim é uma pedra no sapato:

De fato, as duas questões são fáceis como você verá a seguir. É só trabalhar com as definições e características das cônicas.

Determinar a equação da elipse de centro C(0,0), focos no eixo de x, excentricidade e=2/3 e passa pelo ponto P(2,-5/3).

A equação dessa elipse tem o formato:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 , sendo a e b números positivos e não nulos.

Por definição, sabemos que sua excentricidade é dada pela relação:

e = \frac{c}{a} , sendo que c = \sqrt{a^2 - b^2} e a > b .

Sendo assim, dos dados do exercício temos a equação:

\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} = \frac{2}{3}

O outro dado do exercício diz que a elipse passa pelo ponto (2, -5/3). Isso significa que esse ponto deve atender a equação da elipse. Isto é, podemos escrever que:

\frac{2^2}{a^2} + \frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^2}{b^2} = 1

Considerando então as duas equações que foram obtidas, para resolver o exercício basta calcular a solução do sistema:

\begin{cases}
\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} = \frac{2}{3} \\
\\
\frac{2^2}{a^2} + \frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^2}{b^2} = 1
\end{cases}

Agora tente terminar a resolução.

Determine o centro, focos, semi-eixos, assíntota e reta diretriz (se houver) da equação 9x²-58y²+18y+29=0.

Será necessário arrumar a equação para que ele fique no formato reduzido. Para isso, nesse caso deve-se completar quadrados em relação a variável y.

9x^2-58y^2+18y+29=0

9x^2 - 58\left(y^2 - \frac{9}{29}y\right) + 29=0

9x^2 - 58\left[\left(y - \frac{9}{58}\right)^2 - \left(\frac{9}{58}\right)^2\right] + 29=0

9x^2 - 58\left(y - \frac{9}{58}\right)^2 + \frac{81}{58} + 29=0

9x^2 - 58\left(y - \frac{9}{58}\right)^2  = -\frac{1763}{58}

Dividindo toda essa equação por -\frac{1763}{58} :

-\frac{522x^2}{1763} + \frac{3364\left(y - \frac{9}{58}\right)^2}{1763}  = 1

Note que essa equação representa uma hipérbole.

Agora tente identificar as características solicitadas.
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

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O que você não está conseguindo fazer?

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Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59