Dominios e Contradominios

por **joaofonseca** » Sáb Out 01, 2011 15:09

Seja a função:

$f(x)=\frac{3x}{x^2-4}$

Com o proposito de definir o contra-dominio desta função, é necessario calcular a inversa, pois o dominio de $f^{-1}$ é igual ao contra-dominio de

.
Contudo não consigo resolver a equação em ordem a x.
Podem-me ajudar?
Obrigado

Nota:Esta questão reflete alguma confusão entre o conceito de contradominio e conjunto de chegada.

por **MarceloFantini** » Dom Out 02, 2011 15:17

Você é quem define o domínio, tendo em mente que deve ser possível computar a função em todos os pontos dele. Agora, você pode definir um contradomínio tal que existam pontos que não são imagem da função, mas isso significa que ela não tem inversa.

por **joaofonseca** » Dom Out 02, 2011 18:50

Eu tenho utilizado textos e videos em inglês para estudar Matemática.Em inglês, raramente se fala de contradomino (codomain). Encontro com mais frequência os termos Domain e Range.
Eu sei que posso definir o conjunto dos valores de x, mas por regra assumo que o dominio é o conjunto de todos os números reais, apesar de existirem funções em que não faz sentido falar em valores de entrada (input set) para os quais não existem valores de saída (output set) em $\mathbb{R}$ .

Não consigo compreender a razão pela qual se fala nos valores da função que podem hipoteticamente pertencer ao conjunto de saída, se esses valores não estão definidos em $\mathbb{R}$ em função do dominio (valores de entrada).

Na minha visão só se deve considerar os valores do dominio, para os quais a função está definida em $\mathbb{R}$ e só se devem considerar os valores da função que tenham correspondência a algum elemento do dominio.

por **MarceloFantini** » Seg Out 03, 2011 01:02

Função só se define se for possível computar todos os valores do domínio. Não podemos definir, por exemplo, $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R^+}; \, x \mapsto \sqrt{x}$ , pois não existe $\sqrt{-1}$ por exemplo no conjunto dos reais (inclusive nisto já estamos imbutindo a definição de que raíz quadrada seja apenas para números não-negativos).

Não existe regra que diga que o domínio seja sempre os reais, mesmo porque isto não é verdade para o logaritmo, que está definido para $(0, +\infty)$ . Sobre a sua visão, é o que fazemos normalmente. O interessante é sempre que o contradomínio seja igual à imagem (o Range que você lê em inglês), e não que ele seja maior, pois com isso conseguimos propriedades interessantes.

por **joaofonseca** » Seg Out 03, 2011 11:23

MarceloFantini, abrigado pela resposta.

A função $f(x)=\sqrt{x}$ é daquelas que me deixa a pensar (...) sobre este assunto.
Sei que o dominio está limitado a $\mathbb{R}^{+}$ , pois o radicando de uma raíz de indice par não pode ser negativo. Se assim fosse, os valores da função(valores de saída)estariam definidos em $\mathbb{C}$ .

Mas mesmo assim surge um problema.
Sabemos, por exemplo, que $f(9)=\pm\sqrt{9}$ ou seja $f(9)=\pm3$ . Ora, numa função, cada valor x só pode ter uma imagem. A minha questão é porque se escolhe o intervalo positivo $\left [ 0,\infty \right [$ para definir o conjunto imagem e não o intervalo negativo?!?! Quer um quer outro são soluções da função.

por **MarceloFantini** » Seg Out 03, 2011 20:31

Negativo, aí você está errando. A função $f(x) = \sqrt{x}$ está definida para $f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ , ou seja, f(9) = 3

. Você está confundindo com o seguinte fato: $\sqrt{x^2} = |x|$ , ou seja, a raíz quadrada de um número ao quadrado na verdade representa a distância deste número à origem. Note que mesmo assim a raíz quadrada será não-negativa, pois $|x| \geq 0$ sempre.

Você está confundindo equação com função. Não existe "solução da função", o que existe é solução da equação.

por **joaofonseca** » Ter Out 04, 2011 10:51

É verdade, Marcelo, já estava a meter os pés pelas mãos!Para ser como eu estava a pensar a função teria de ser expressa da seguinte forma:

$f(x)=\pm\sqrt{x}$

e isto não é uma função!
Encontrei uma função que exemplefica bem a minha dúvida.

$h(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x+5}$

Foi facíl definir o dominio da função.São todos os valores de x que não anulam o denominador e que não tornam a expressão x-2

negativa, pois sob uma raiz de indice par não pode haver números negativos, pelo menos no conjunto dos números reais.
Assim o dominio desta função é $\left[2,\infty \right[$ .
Também foi facíl calcular o limite da função quando x tende para $+\infty$ .Será zero!

A questão é definir o intervalo que contem os valores de saída(conjunto imagem ou contradominio?!?!)Nomeadamente o máximo desta função, já que o minimo é zero(x=2).Graficamente observei que existe um máximo apartir do qual a função tende para zero, mas não sei qual a melhor forma de o encontrar, seja através da Algebra ou do Calculo.

Obrigado pela ajuda.

por **LuizAquino** » Ter Out 04, 2011 20:15

joaofonseca escreveu:Eu tenho utilizado textos e videos em inglês para estudar Matemática.Em inglês, raramente se fala de contradomino (codomain). Encontro com mais frequência os termos Domain e Range.

(...)

A questão é definir o intervalo que contem os valores de saída(conjunto imagem ou contradominio?!?!)

Leia sobre a definição do termo range em inglês:

If $f:D\to Y$ is a map (a.k.a. function, transformation, etc.) over a domain D, then the range of f, also called the image of D under f, is defined as the set of all values that f can take as its argument varies over D, i.e.,

$\textrm{Range}(f) = f(D) = \{ f(X) \,:\, X \in D\}.$

Note that among mathematicians, the word "image" is used more commonly than "range".

The range is a subset of Y and does not have to be all of Y.

(...)

Fonte:
Range -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/Range.html

joaofonseca escreveu:Graficamente observei que existe um máximo apartir do qual a função tende para zero, mas não sei qual a melhor forma de o encontrar, seja através da Algebra ou do Calculo.

Utilizando os conhecimentos de Cálculo, para encontrar o máximo ou o mínimo de uma função (contínua) podemos usar o Teste da Primeira ou o da Segunda Derivada.

Eu recomendo que você assista a vídeo-aula "21. Cálculo I - Teste da Primeira e da Segunda Derivada" e tente determinar o máximo dessa função que você deseja. Caso a dúvida persista, poste aqui até onde você conseguiu avançar.

por **MarceloFantini** » Ter Out 04, 2011 21:19

Você continua pensando erroneamente. A função raíz quadrada, como eu já disse, é definida de $\mathbb{R^+}$ em $\mathbb{R^+}$ , e com esta definição não há como ela assumir valores negativos. Não confunda função com solução da equação: x^2 = a