derivada x^(x^senx)

por **paula luna** » Ter Jun 07, 2011 15:15

Oi!
Meu professor fez essa derivada no quadro mas nao intendi nada... alguem pode me explicar?!

$F(x) = {x}^{{x}^{senx}}$

Tipo ele fez por regra da cadeia mas primeiro ele pôs a funçao com exponencial assim:

$F(x) = {e}^{ln({x}^{({x}^{senx})})}$

eu sei que essa funçao e^ln ... é a mesma coisa que a funçao la em cima, no entanto nao intendo no que isso ajuda pra fazer a questao e consequentemente isso confundiu todo resto da questao. Tentei fazer normal por regra da cadeia mas o resultado fico algo estranho e longe da resposta que ele (professor) chegou. Desculpe os varios erros de gramatica... tava com pressa xD.

:y:

pra quem leu !! e :y:

pra quem leu e respondeu :-D

por **LuizAquino** » Ter Jun 07, 2011 18:26

Considere que $y = f(x)^{g(x)}$ , com f(x) > 0.

Lembrando-se das propriedades de logaritmos, sabemos que $e^{\ln a} = a$ e que $\ln a^n = n\ln a$ .

Desse modo, temos que $y = e^{\ln f(x)^{g(x)}} = e^{g(x)\ln f(x)}$ .

Considerando que f e g são diferenciáveis em um mesmo domínio, derivando ambos os membros dessa equação temos que:

$y^\prime = \left[e^{g(x)\ln f(x)}\right]^\prime = \left[g(x)\ln f(x)\right]^\prime e^{g(x)\ln f(x)} = \left[g(x)\ln f(x)\right]^\prime f(x)^{g(x)}}$ . (Lembrete: pela Regra da Cadeia, temos que $[e^u]^\prime = u^\prime e^u$ .)

Desse modo, temos uma regra geral para esses casos: $\left[f(x)^{g(x)}\right]^\prime = \left[g(x)\ln f(x)\right]^\prime f(x)^{g(x)}$ .

No exercício, temos $F(x) = x^{x^{\textrm{sen}\,x}}$ . Fazendo

e $g(x) = x^{\textrm{sen}\,x}$ temos que $F(x) = f(x)^{g(x)}$ . Agora basta aplicar a regra acima.

Note que será necessário derivar a função g. Fazendo $\overline{f}(x) = x$ e $\overline{g}(x) = \textrm{sen}\,x$ temos que $g(x) = \overline{f}(x)^{\overline{g}(x)}$ . Daí basta aplicar a regra novamente para essa função.

paula luna escreveu:Desculpe os varios erros de gramatica... tava com pressa xD.

Procure ter mais cuidado da próxima vez. É ruim ler algo como "intender". *-)

por **paula luna** » Ter Jun 07, 2011 21:21

Ok, otimo! consegui fazer facilmente a questao seguindo os passos, porem continuo com 2 duvidas:

1ª) quando é dito "...temos uma regra geral para esses casos..." , que casos sao estes?

2ª) Por que nao pode ser feito a regra da cadeia tomando o expoente x^senx como um 'u' e fazendo x^u ?

Eu realmente nao vejo o porquê de usar toda aquela historia de logaritmo natural e funçao expoencial para simplificar a funçao inicial ao inves de aplicar a regra da cadeia direto.

Desculpa eu incomoda tanto com essas questoes mas meu professor realmente nao sabe explicar o que ele faz no quadro e os monitores menos ainda.

por **LuizAquino** » Ter Jun 07, 2011 22:46

paula luna escreveu:1ª) quando é dito "...temos uma regra geral para esses casos..." , que casos sao estes?

Leia com mais atenção a minha mensagem.

Considere que $y = f(x)^{g(x)}$ , com f(x) > 0. (...)

Considerando que f e g são diferenciáveis em um mesmo domínio (...)

(...) temos uma regra geral para esses casos: $\left[f(x)^{g(x)}\right]^\prime = \left[g(x)\ln f(x)\right]^\prime f(x)^{g(x)}$ .

paula luna escreveu:2ª) Por que nao pode ser feito a regra da cadeia tomando o expoente x^senx como um 'u' e fazendo x^u ?

Para aplicar a regra da cadeia devemos ter uma função composta. Ou seja, devemos ter algo do tipo f(u(x)).

Agora, reflita sobre a seguinte questão: se colocarmos f(x) = x

e $u(x) = x^{\textrm{sen}\,x}$ é verdadeiro que $f(u(x)) = x^{u(x)}$ ?

por **paula luna** » Sex Jun 10, 2011 04:48

Ajudou muito, precisei ler umas 7 vezes pra intender da onde vinha a regra, mas intendi.
Cara tu é ${10}^{\infty}$ , vlw pela ajuda msm.
Deus te abençoe.

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