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Raízes de uma função

Raízes de uma função

Mensagempor abel » Sáb Nov 01, 2008 23:24

Oi pessoal,

eu meio que tô perturbardo com uma questão aqui...
é uma função do segundo grau f(x) = -x² + 62x - 600
só q eles pedem pra eu achar as raízes dessa função... o problema é que seu eu for perder tempo fazendo baskara com esses números enormes num vestibular por exemplo, eu tô ferrado O.o
tem um jeito de saber as raízes de uma maneira mais fácil?
abel
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Re: Raízes de uma função

Mensagempor admin » Dom Nov 02, 2008 00:05

Olá abel, boas-vindas!

Normalmente em questões de vestibulares, mesmo com números "grandes", as contas não são tão complicadas.

Mas neste caso sim, há uma maneira mais fácil, considerando a soma e o produto das raízes.

Se a função é
f(x) = ax^2 + bx + c

E x_1 e x_2 são as raízes, temos que a soma é:
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}

Produto:
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Aqui há um tópico onde comentei sobre como obter estas "fórmulas":
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=105&t=127&p=216#p216


Ou seja, você precisa tentar descobrir as raízes sabendo a soma e o produto:

x_1 + x_2 = \frac{-62}{-1} = 62

x_1 \cdot x_2 = \frac{-600}{-1} = 600

Em palavras, você deve se perguntar assim: quais os dois números que somados resultam em 62 e multiplicados resultam em 600?
Nem sempre é imediato inferir sobre eles, mas neste caso é simples.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!
Fábio Sousa
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Re: Raízes de uma função

Mensagempor Molina » Seg Nov 03, 2008 15:29

Neste caso soma e produto (forma repassada pelo fábio) não nos ajuda muito, já que os dois valores são alto (62 e 600). Para números menores é sempre bem eficiente este método.
Sugiro tentar resolver por Báskara mas antes multiplique toda a equação por -1 para ficar com o primeiro termo positivo.

Bom estudo! :y:
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Re: Raízes de uma função

Mensagempor admin » Seg Nov 03, 2008 16:04

Olá.
Ainda acho que ajuda, vou tentar argumentar... :)
Começando o teste com 10 e 60 logo se chega às raízes, considerando que a soma atual é 70 e precisamos diminuí-la.

Mas, outra dica para facilitar ainda mais caso não descubra é fatorar 600:

\begin{tabular}{r|l}
600 & 2 \\
300 & 2 \\
150 & 2 \\
75 & 3 \\
25 & 5 \\
5 & 5 \\
1 & \\ \hline
& 1 \cdot 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2
\end{tabular}


Como o produto é x_1 \cdot x_2 = 600, basta combinarmos estes fatores buscando a soma 62, assim limitamos bem os números candidatos.

Até mais!
Fábio Sousa
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Re: Raízes de uma função

Mensagempor abel » Seg Nov 03, 2008 19:06

Por báskara eu achei muito cansativo e que consome muito tempo.
tentei fazer pelo método do fábio... mas não tinah idéia de como achar dois números q multiplicassem e somassem valores altos desse jeito...
o fábio disse em fatorar e combinar os fatores... mas eu não entendi direito como isso funciona. =/
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Re: Raízes de uma função

Mensagempor admin » Ter Nov 04, 2008 04:31

Olá abel!

Temos que primeiro considerar o produto, com os números permitidos provenientes da fatoração.
1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5 = 600

Exemplos de combinações com os fatores:

\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 3}_{60} \cdot \underbrace{2\cdot 5}_{10} = 600
Soma: 70


\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}_{24} \cdot \underbrace{5\cdot 5}_{25} = 600
Soma: 59


\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{8} \cdot \underbrace{3 \cdot 5\cdot 5}_{75} = 600
Soma: 83


\vdots

Podemos desconsiderar aquelas combinações de fatores cuja soma evidentemente já excede 62.
Assim não demora muito para encontrarmos as raízes.

abel, comente se ficou claro...
Se não preferir assim, a opção será "Bhaskara".
Bons estudos!
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Re: Raízes de uma função

Mensagempor admin » Ter Nov 04, 2008 04:31

Olá abel!

Temos que primeiro considerar o produto, com os números permitidos provenientes da fatoração.
1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5 = 600

Exemplos de combinações com os fatores:

\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 3}_{60} \cdot \underbrace{2\cdot 5}_{10} = 600
Soma: 70


\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}_{24} \cdot \underbrace{5\cdot 5}_{25} = 600
Soma: 59


\underbrace{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2}_{8} \cdot \underbrace{3 \cdot 5\cdot 5}_{75} = 600
Soma: 83


\vdots

Podemos desconsiderar aquelas combinações de fatores cuja soma evidentemente já excede 62.
Assim não demora muito para encontrarmos as raízes.

abel, comente se ficou claro...
Se não preferir assim, a opção será "Bhaskara".
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.