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Duvida numa funçao definida por ramos

Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor AnaOliveira » Sáb Abr 30, 2011 16:54

boa tarde... eu estou cm uma duvida numa funçao definida por ramos que é:

f(x,y) = x^3/(x^2 + y^2) se x > 0 e f(x,y) = x * ln(1+y^2) se x <= 0

Como verifico se a funçao é continua no ponto 0,0
pego no ramo d cima ou d baixo?
Na minha prespectiva deveria incluir o que tem o zero. Contudo estou co duvidas. Se me pudessem esclarecer.
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Abr 30, 2011 18:26

Editado, explicado abaixo.
Editado pela última vez por MarceloFantini em Sáb Abr 30, 2011 20:29, em um total de 1 vez.
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 30, 2011 18:55

Eu gostaria de recomendar que você assista ao vídeo:
04. Cálculo I - Limites e Continuidade
http://www.youtube.com/watch?v=NOPEwktLxgw

Nesse vídeo há exercícios semelhantes a este, porém para funções de apenas uma variável.
Editado pela última vez por LuizAquino em Dom Mai 01, 2011 12:35, em um total de 1 vez.
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor AnaOliveira » Sáb Abr 30, 2011 20:26

Agradeço a vossa ajuda!
Houve uma pessoa que entretanto me disse que para a resolução do problema teria de calcular o limite de x >0 e x < 0 e verificar se ambos sao iguais a zero.
Pelo que entendi tambem se pode resolver assim. Correcto?
Tinha a percepçao de que a continuidade em R era diferente de R2, por estarmos a trabalhar no plano e nao podermos seguir unicamente pela esquerda ou pela direita, devido a existirem varias formas de nos aproximarmos de 0.
Editado pela última vez por AnaOliveira em Sáb Abr 30, 2011 20:33, em um total de 1 vez.
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 30, 2011 20:30

Houve uma pessoa que entretanto me disse que para a resolução do problema teria de calcular o limite de x >0 e x < 0 e verificar se ambos sao iguais a zero.
Pelo que entendi tambem se pode resolver assim. Correcto?
Tinha a percepçao de que a continuidade em R era diferente de R2, por estarmos a trabalhar no plano e nao podermos seguir unicamente pela esquerda ou pela direita, devido a existirem varias formas de nos aproximarmos de 0.


Deve-se analisar todos os caminhos como o colega Fantini disse abaixo.
Editado pela última vez por LuizAquino em Dom Mai 01, 2011 12:38, em um total de 4 vezes.
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Abr 30, 2011 20:35

Apaguei minha mensagem pois estava errado. Se não me engano, o limite não deve existir pois o limite do primeiro ramo não existe. Entretanto, isso é uma função de duas variáveis, então tecnicamente deveríamos mostrar por todos os caminhos?
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 30, 2011 20:37

MarceloFantini escreveu:Entretanto, isso é uma função de duas variáveis, então tecnicamente deveríamos mostrar por todos os caminhos?

Sim.
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor AnaOliveira » Sáb Abr 30, 2011 20:41

O primeiro limite existe! Eu provei pela definiçao que existe.! Sendo assim.. fiquei um pouco confusa. :S
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Abr 30, 2011 20:49

Note que eu disse "se não me engano", e neste caso eu me enganei. *-)
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor AnaOliveira » Sáb Abr 30, 2011 20:54

Sim sim.. Contudo fiquei na duvida.. Sempre se resolve através da resolução dos dois limites correcto?
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Abr 30, 2011 21:11

Sim, e os dois existem nesse caso. Como a função está definida em zero também e coincide com os limites, então ela é contínua no ponto.
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor AnaOliveira » Sáb Abr 30, 2011 21:13

Agradeço a ajuda!
:-D
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Re: Duvida numa funçao definida por ramos

Mensagempor NMiguel » Dom Mai 01, 2011 19:35

A função é, de facto, continua em (0,0).

Basta ver que:

\lim_{\left (x,y  \right )\rightarrow \left (0^{+},0  \right )}\left |f(x,y)  \right |=\lim_{\left (x,y  \right )\rightarrow \left (0^{+},0  \right )}\left |\frac{x^3}{x^2+y^2}  \right |\leq \lim_{\left (x,y  \right )\rightarrow \left (0^{+},0  \right )}\left |\frac{(\sqrt{x^2+y^2})^3}{x^2+y^2}  \right |=\lim_{\left (x,y  \right )\rightarrow \left (0^{+},0  \right )}\left |\sqrt{x^2+y^2}  \right |=0



\lim_{\left (x,y  \right )\rightarrow \left (0^{-},0  \right )}f(x,y)=\lim_{\left (x,y  \right )\rightarrow \left (0^{-},0  \right )}x\times ln(1+y^2)=0\times 0=0



f(0,0)=0\times ln(1+0^2)=0
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59