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Álgebra: Teoria dos conjuntos3

Álgebra: Teoria dos conjuntos3

Mensagempor Caeros » Seg Mar 07, 2011 19:40

Estou estudando Teoria dos Conjuntos, agradeço o apoio de voces. Por favor veja se minha solução faz sentido:

Seja A = {1,2,3}. Considere as seguintes relações em A:
{R}_{1}= {(1,2);(1,1);(2,2);(2,1);(3,3)}
{R}_{2}= {(1,1);(2,2);(3,3);(1,2);(2,3)}
{R}_{3}= {(1,1);(2,2);(1,2);(2,3);(3,1)}
{R}_{4}= AxA;
{R}_{5}= \O
Quais são reflexivas?Simétrica? anti-simétricas? e Transitivas?

Solução:
Reflexivas: {R}_{1};{R}_{2};{R}_{4};
Pergunto: Porque o conjunto vazio não é reflexivo?
Simétricas: {R}_{1};{R}_{4};
Pergunto: o Conjunto Vazio é simétrico ou não?Porquê?
Transitivas: {R}_{1} é transitiva pois, (1,2)\in{R}_{1};(2,2)\in{R}_{1} e obviamente implica que (1,2)\in{R}_{1}; como também (2,1)\in{R}_{1};(1,2)\in{R}_{1} implica que (2,2)\in{R}_{1}; ok?
{R}_{2} não é transitiva pois, (1,2)\in{R}_{2};(2,3)\in{R}_{2}, mas (1,3)\not\in{R}_{2};
{R}_{3} não é transitiva pois (1,2)\in{R}_{3}; (2,3)\in{R}_{3}; mas, (3,1)\not\in{R}_{3};
{R}_{4} é transitiva;
Pergunto: conjunto Vazio é transitivo, porquê? ;
Anti-Simétrica: {R}_{2}; {R}_{3}; {R}_{5}.
Caeros
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Re: Álgebra: Teoria dos conjuntos3

Mensagempor LuizAquino » Ter Mar 08, 2011 12:18

Caeros escreveu:Pergunto: Porque o conjunto vazio não é reflexivo?

R_5=\varnothing não é reflexiva porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A.

Caeros escreveu:Pergunto: o Conjunto Vazio é simétrico ou não?Porquê?

R_5=\varnothing é simétrica. Lembre-se que para ser simétrica é necessário que se (a, b) esteja em R então (b, a) também deve estar. Isto é, o único problema é se acontecer de (a, b) está em R, mas (b, a) não estar. Esse problema não acontece em R_5.

Caeros escreveu:{R}_{3} não é transitiva pois (1,2)\in{R}_{3}; (2,3)\in{R}_{3}; mas, (3,1)\not\in{R}_{3};

Correção: "(...), mas (1,3)\not\in{R}_{3}"

Caeros escreveu:Pergunto: conjunto Vazio é transitivo, porquê?

Uma relação R não é transitiva se acontecer de (a, b) e (b, c) está em R, mas (a, c) não está. Esse problema não acontece em R_5=\varnothing.

Observação
A todo momento você pergunta se o "conjunto vazio" é reflexivo, simétrico, transitivo, etc. Tome cuidado! O que são classificados em reflexivo, simétrico ou transitivo são as relações, não os conjuntos. Por exemplo, não faz sentido perguntar se o conjunto A={1, 2, 3} é simétrico, transitivo, reflexivo, etc.
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Re: Álgebra: Teoria dos conjuntos3

Mensagempor Caeros » Ter Mar 08, 2011 22:30

Obrigado Luiz pelas orientações!
Mesmo assim tenho um questionamento:
a relação {R}_{5} para o cojunto A citado não é reflexiva , pois, "porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A."
Analogamente não seria este o mesmo motivo para esta relação não ser simétrica e nem transitiva, por não apresentar elementos? :?:
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Re: Álgebra: Teoria dos conjuntos3

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 09, 2011 10:28

Caeros escreveu:a relação {R}_{5} para o cojunto A citado não é reflexiva , pois, "porque, obviamente, não contém os elementos do tipo (a, a), para todo a em A."
Analogamente não seria este o mesmo motivo para esta relação não ser simétrica e nem transitiva, por não apresentar elementos? :?:

Não!

Vamos pensar um pouco...

O que deve acontecer para uma relação não ser reflexiva? Basta que ela não tenha algum dos elementos (a, a), com a em A. Por exemplo, por que R_3 não é reflexiva? Porque (3, 3) não está em R_3. O motivo é análogo para {R}_{5}.

Para que uma relação não seja simétrica basta que (a, b) esteja em R, mas (b, a) não esteja. Por exemplo, {R}_{2} não é simétrica, já que (1, 2) está na relação, mas (2, 1) não está.
Note que em {R}_{5} esse problema não ocorre. Isto é, não há na relação um par (a, b) tal que (b, a) não esteja. Portanto, ela é simétrica.

Por fim, para que uma relação R não seja transitiva basta ocorrer que (a, b) e (b ,c) esteja em R, mas (a, c) não esteja. Por exemplo, {R}_{3} não é transitiva, pois (1,2)\in{R}_{3} e (2,3)\in{R}_{3}, mas (1, 3)\not\in{R}_{3}. Novamente, note que esse problema não ocorre em {R}_{5}. Isto é, não há elementos (a, b) e (b ,c) na relação tal que (a, c) não esteja. Um outro exemplo de relação transitiva no conjunto A dado seria R = {(1, 1)}. Note que não há elementos (a, b) e (b ,c) na relação R tal que (a, c) não esteja em R.
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Re: Álgebra: Teoria dos conjuntos3

Mensagempor Caeros » Qua Mar 09, 2011 10:41

Ok :y: Luiz;
Obrigado por colaborar, realmente nem nos livros são claros em relação a isto, e nem nos bancos das universidades há professores que tragam explicação clara, para ter uma idéia um professor de uma renomada academia aqui onde moro disse que a explicação é porque foi convencionada assim!!Valeu.
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Re: Álgebra: Teoria dos conjuntos3

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 09, 2011 11:04

Caeros escreveu:nem nos bancos das universidades há professores que tragam explicação clara

Observação: Eu sou Professor Universitário e acredito ter esclarecido isso para você. Sendo assim, procure não afirmar coisas como essa. Além disso, existem muitos outros Professores nas Universidades que também deixariam isso claro para você.
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Re: Álgebra: Teoria dos conjuntos3

Mensagempor Caeros » Dom Mar 13, 2011 01:01

Realmente fiquei intrigado com a resposta que recebi do professor aqui na universidade, da qual citei, e acabei generalizando, pois sabia de certa forma que não era a resposta que ele deveria me dar, mas enfim reconheço a importância dos professores em nossa vida e que o que postei anteriormente está errado. Obrigado novamente professor!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D