equações com exponenciais

por **Regina** » Sex Fev 25, 2011 14:52

ola a todos!!

a minha dúvida é a seguinte:

No livro diz:

Resolva a equação $2{t}^{3}{e}^{-t}={t}^{3}{e}^{-0,6t}$

E eu comecei a resolver da seguinte maneira:
$\frac{2{t}^{3}}{{t}^{3}}=\frac{{e}^{-0,6t}}{{e}^{-t}}\Leftrightarrow 2=\frac{{e}^{-0,6t}}{{e}^{-t}}\Leftrightarrow 2{e}^{-t}={e}^{-0,6t}\Leftrightarrow$

e daqui já não consigo passar!
sei que o resultado tem que ser $t=0 V t=\frac{5}{2}ln2$

Mas não consigo chegar ao resultado correcto, dão sempre valores diferentes.

por **Molina** » Sex Fev 25, 2011 15:26

Boa tarde, Regina.

Continuando de onde você parou:

$2=\frac{{e}^{-0,6t}}{{e}^{-t}}$

$2={e}^{-0,6t}*{e}^{t}$

$2={e}^{-0,6t+t}$

$2={e}^{0,4t}$

$ln 2=ln {e}^{0,4t}$

ln 2=0,4t

$t=\frac{ln 2}{0,4}=\frac{5}{2}ln 2$

:y:

por **Regina** » Sex Fev 25, 2011 18:46

Percebi todo o seu raciocínio, no entanto só não compreendo como você passou de $2=\frac{{e}^{-0,6t}}{{e}^{-t}}$ para $2={e}^{-0,6t} * {e}^{t}$

Como ficam os dois "e" a multiplicar um pelo outro, e o expoente do segundo "e" passa de "-t" para "t"?

Obrigado

por **Molina** » Sex Fev 25, 2011 19:27

Regina escreveu:Percebi todo o seu raciocínio, no entanto só não compreendo como você passou de $2=\frac{{e}^{-0,6t}}{{e}^{-t}}$ para $2={e}^{-0,6t} * {e}^{t}$

Como ficam os dois "e" a multiplicar um pelo outro, e o expoente do segundo "e" passa de "-t" para "t"?

Obrigado

Boa tarde.

Esta é uma parte de matemática básica que se a gente acaba não praticando cai no esquecimento mesmo. Mas tente se lembrar que:

$a^{-1}=\frac{1}{a}$

Ou seja, para mudar o sinal do expoente basta inverter a fração. Outros exemplos:

$\frac{b^{-3}}{2}=\frac{2}{b^{3}}$

$\frac{1}{{e}^{-t}}={e}^{t}$

O que temos no seu problema é:

$2=\frac{{e}^{-0,6t}}{{e}^{-t}}$

Mas para você perceber melhor o que eu fiz vou escrever assim:

$2={e}^{-0,6t}*\frac{1}{{e}^{-t}}$

Que é a mesma coisa. Agora vou aplicar nesta ultima fração a propriedade que vimos acima:

$2={e}^{-0,6t}*\frac{1}{{e}^{-t}}={e}^{-0,6t}*{e}^{t}$

Ficou mais claro agora? :y: