Multiplicadores de Lagrange

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Multiplicadores de Lagrange

Mensagempor luciamoura » Sex Nov 26, 2010 17:55

Primeiramente gostaria de pedir desculpas pelo incomodo. Gostaria da opinião de vocês sobre a resolução de uma questão referente à multiplicadores de Lagrange.

A questão é a seguinte:
Uma certa sonda espacial possui formato de um elipsoide 4*x^2+ y^2+4*z^2 = 16.
Sabendo-se que a temperatura (C) sobre a sua superfcie é modelada pela formula
T(x; y; z) = 8*x^2 + 4*y*z ? 16*z + 600, encontre o ponto mais quente.

Primeiramente eu isolei "x" na equação do elipsóide, substituí na equação da temperatura e calculei as derivadas parciais com relação a "y" e a "z". Entretanto, obtive como resposta uma equação com raízes complexas. Depois tentei usar um software matemático (Mathematica e o Maple) para calcular os valores das equações obtidas pelos multiplicadores de Lagrange, tomando T(x,y,z) como a função a sex maximizada e obtive 7 pontos P(x,y,z). Gostaria de saber se essa segunda forma de resolver é a correta (uso de software). Caso não, você poderia me dar alguma dica para a resolução do problema.

A questão encontra-se na página do ICMC da USP: http://www.icmc.usp.br/~matofu/2-2010/s ... 4-2010.pdf (5º quesito)
Agradeço desde já,
Lúcia.
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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