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Achar a altura de uma Pirâmide que inscreve-se um circulo

Achar a altura de uma Pirâmide que inscreve-se um circulo

Mensagempor Rose » Seg Jun 16, 2008 11:35

OLá!!!
Tentei por inumeras vez encontrar uma solução para este problema, mas sem sucesso. Porcurei em varios livros didaticos sobre o assunto que me dessem um modelo parecido, mas não encontrei nenhum. Por isso, minha última esperança é vocês.

1)Considerando uma piramide regular cuja base quadrada tem área 64cm². Numa secção paralela a base que dista 30mm desta, inscreve-se um circulo. Se a area deste circulo mede 4pi cm². Qual a altura desta piramide???
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Re: Achar a altura de uma Pirâmide que inscreve-se um circulo

Mensagempor admin » Seg Jun 16, 2008 13:27

Olá Rose, bom dia!

Você conseguiu fazer o desenho da pirâmide?
Na pirâmide regular, seu eixo é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

O círculo inscrito e sua área fornecem a informação da área da seção quadrada! Você obteve esta área?

Estas áreas (área da base da pirâmide e área do topo do tronco), também fornecem a informação dos lados destes quadrados!

Enfim, considere na pirâmide outra seção que contenha o vértice e seja perpendicular a um par de lados da base (conseqüentemente esta seção será paralela ao outro par de lados da base quadrada).
Assim, a intenção é reduzir o problema para duas dimensões, pois consideramos a partir daqui somente um triângulo retângulo, obtido dividindo o triângulo isósceles da seção pela altura da pirâmide.

Neste triângulo retângulo, já temos o valor de um cateto, podendo o outro cateto ser escrito em função da altura h da pirâmide. Por semelhança calculamos a altura pedida, h=6 cm.

Rose, pense nas perguntas que fiz inicialmente.
É estritamente necessário fazer o desenho (mentalmente ou no papel) para conseguir a resolução.
Comente caso tenha dúvidas nas construções ou nos cálculos, se possível, enviando seu desenho.

Espero ter ajudado!
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Re: Achar a altura de uma Pirâmide que inscreve-se um circulo

Mensagempor Rose » Ter Jun 17, 2008 11:56

Olá!!

Li, reli e fiz o desenho conforme meu entendimento, que segue no anexo. Tentei responde aos questionamentos por você efetuados. Fiz alguns calculos: 1) a área da base do tronco , segundo meus calculos deu 16cm² - 4cm² (da area do circulo)=12 cm².
Quando você pede área da base, creio que não é necessário pois, o problema já fornece e, é 64cm², certo!!

Olhando meu desenho visualizei um trapézio, que surgiu a da secção do círculo a pirâmide. Deste trapézio originei um retângulo de lado 4 e altura 30mm=0,3cm e um triângulo retângulo de altura 0,3cm(cateto) e base 2, pois sabendo que o lado pirâmide é 8 então 8 - 4 = 4 e achei a hipotenusa que deu x= 19 aproximadamente . Como você pode notar não fiz muito progresso, e por isso recorro a você, para mais uma vez me ajudar. Este exercício é muito importante para mim, de uma lista 20 foi o único que até agora não estou conseguindo fazer. Desculpe pelo desenho mas não disponho de programas adequado para faze-lo. Obrigada!!
Anexos
001.jpg
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Re: Achar a altura de uma Pirâmide que inscreve-se um circulo

Mensagempor admin » Ter Jun 17, 2008 15:38

Olá Rose, boa tarde!

Seu desenho está muito bom.
Alguns comentários...

Rose escreveu:1) a área da base do tronco , segundo meus calculos deu 16cm² - 4cm² (da area do circulo)=12 cm².
Quando você pede área da base, creio que não é necessário pois, o problema já fornece e, é 64cm², certo!!


Cuidado ao fazer referências ao tronco. A base do tronco é a mesma base da pirâmide.
A seção pararela é o topo do tronco!
Ou seja, 64 cm^2 é a área da base da pirâmide (e do tronco).

fabiosousa escreveu:O círculo inscrito e sua área fornecem a informação da área da seção quadrada! Você obteve esta área?

Estas áreas (área da base da pirâmide e área do topo do tronco), também fornecem a informação dos lados destes quadrados!


O questionamento sobre as áreas foi apenas para concluirmos sobre as medidas dos lados dos quadrados da base do tronco e do topo do tronco.
Como você bem escreveu, já sabemos que os lados medem 8cm e 4cm, respectivamente. Mais facilmente do que considerar a área dada do círculo para obtermos o lado do topo seria já considerar diretamente o próprio diâmetro, como você fez no segundo desenho.

Outros dois detalhes:
Área é sempre em unidade^2, em um momento você escreveu cm^3, creio que apenas por descuido.
E 30mm = 3cm.

Pois bem, acho que falta pouco para você resover o exercício, considerando que o desenho está feito e já temos as medidas dos lados dos quadrados (base e topo do tronco).

Este trapézio que você visualizou foi obtido por uma outra seção, tudo bem.
Mas, uma seção diferente daquela que eu havia sugerido, assim terá mais trabalho, pense nisso:

fabiosousa escreveu:Enfim, considere na pirâmide outra seção que contenha o vértice e seja perpendicular a um par de lados da base (conseqüentemente esta seção será paralela ao outro par de lados da base quadrada).
Assim, a intenção é reduzir o problema para duas dimensões, pois consideramos a partir daqui somente um triângulo retângulo, obtido dividindo o triângulo isósceles da seção pela altura da pirâmide.


Tente fazer esta outra seção e conseguirá encontrar a altura da pirâmide por semelhança de triângulos!


Discordo de você quando diz que não fez muito progresso.
A ajuda só se faz com estas tentativas e interesse.
Até mais, vamos conversando...
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Re: Achar a altura de uma Pirâmide que inscreve-se um circulo

Mensagempor Rose » Qua Jun 18, 2008 17:10

Olá!!

Acho que matei a charada!!

Tendo encontrado a área do tronco e sabendo a área da base, logo, sei o valor dos lados do tronco e da base, certo??!!
Bem, partindo destes pressupostos, então, posso montar uma razão entre os lados, a altura do tronco e altura.
l1/l2 = d/h onde l1 =4 l2=8 d= 3 cm e h=???
4/8 = 3/h = > 4h = 24 = h =24/4 = h 6cm. Espero ter decifrado.

Caso tenha conseguido podes me enviar a maneira de se fazer com as áreas dos triangulos?? MInha visão espacial, não me permitiu ver os triangulos.

Desculpe-me pelo abuso, resolvi um problema para minha sobrinha, conforme o desenho em anexo, só que meu resultdo difere, do gabarito por ela aprensentado.

Resolução:
Esses foram os resultados que obtive:
At= ??
A(quadrado) = 36cm² Area( círculo)= (4 *3,14)= (28,24cm²)/4 = 7,06
At = A(quadrado) - Area( círculo)= 36- 7,06= 28,94

no gabarito está 7,673
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Re: Achar a altura de uma Pirâmide que inscreve-se um circulo

Mensagempor admin » Qua Jun 18, 2008 17:42

Olá Rose!
A razão que você montou precisaria ser necessariamente justificada por semelhança de triângulos.
Sem visualizar os triângulos, você ainda não pode concluir sobre a razão de semelhança.

Depois, favor explicar melhor sobre as contas que você colocou no final.
Escreva o que é "At", por exemplo. E cuidado com a seqüência de passos, melhor pular linhas.

Outra observação: tenho a impressão que você está com uma falsa idéia sobre o que é "área do tronco".
Atenção: "área do topo do tronco" está relacionada apenas com o "quadrado do topo" (ou base superior).
"Área da base do tronco" está relacionada apenas com o "quadrado da base da pirâmide (e do tronco)" - ou base inferior.
"Área do tronco" é a soma das áreas dos quatro lados do tronco, mais a área da base inferior, mais a área da base superior!


Voltanto à resolução, veja a figura que preparei para você visualizar o triângulo na seção comentada:
piramide_regular_quadrada.jpg


O triângulo em destaque, simplificando o problema para duas dimensões:
triangulo_retangulo1.jpg
triangulo_retangulo1.jpg (9.46 KiB) Exibido 12076 vezes


Veja a justificativa sobre a semelhança de triângulos:
O triângulo EGQ é semelhante ao triângulo EFS, pelo caso lado-ângulo-lado, notação:
\Delta EGQ \sim \Delta EFS, caso LAL.

Pela semelhança, podemos escrever a seguinte proporção entre os lados:
\frac{FS}{GQ} = \frac{EF}{EG}

Substituindo os valores:
\frac42 = \frac{h}{h-3}

4(h-3) = 2h

4h-12 = 2h

2h = 12

h=6 cm.

Comente qualquer dúvida.
Espero ter ajudado!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D