Exercícios Calculo I - Limite

por **CloudP4** » Seg Jun 07, 2010 23:57

Olá pessoal, novo aqui no fórum, e em uma lista de exercicios dada pelo meu professor, parei nesses 2 problemas, ainda tenho algumas dúvidas quando ao uso de raíz e do uso de expressões nesse formato
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x-2}$

$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt[]{x} - \sqrt[]{3}}{x-3}$

Aos que puderem me explica como pelo menos começar, já agradeço.

Abraços.

por **Molina** » Ter Jun 08, 2010 00:03

Bem-vindo e boa noite!

Em casos em que o limite dá $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ podemos usar a Regra de L'Hopital. Mas você só pode usar essa regra depois de ver derivadas. Caso não tenha visto, informe que tentamos por outros meios..

Bom estudo! :y:

por **CloudP4** » Ter Jun 08, 2010 00:18

No caso, ainda não vi derivada, limite acho que a quase 2 meses desde que comecei a ver. Ainda não cheguei a Derivada.
O meu caso é que o professor apresentou em seus exemplo algo mais "simples", e não tenho uma base muito boa para esse tipo de exercicio.

por **Molina** » Ter Jun 08, 2010 01:07

CloudP4 escreveu:No caso, ainda não vi derivada, limite acho que a quase 2 meses desde que comecei a ver. Ainda não cheguei a Derivada.
O meu caso é que o professor apresentou em seus exemplo algo mais "simples", e não tenho uma base muito boa para esse tipo de exercicio.

Certo, vamos lá então:

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x-2}$

"Ajustanto" o numerador...

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\frac{2-x}{2x}}{x-2}=\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{2x}*\frac{1}{x-2}$

Agora faremos uma substituição. Chamaremos de 2-u=x

, com isso -u=x-2

. E quando $x \rightarrow 2$ , $u \rightarrow 0$

Reescrevendo nosso limite, com as novas notações...

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{2x}*\frac{1}{x-2}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{2*(2-u)}*\frac{1}{-u}=$

$=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{1}{-2*(2-u)}=\frac{-1}{4}$

Acho que o segundo exemplo se resolve pelo mesmo truque de substituição.

Bom estudo! :y:

por **MarceloFantini** » Ter Jun 08, 2010 04:38

Molina, acredito que no primeiro não precisa fazer mudança de variável, veja:

$\lim_{x \to 2} \frac { \frac{2 - x}{2x} } {x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{- (x - 2)}{2x} \cdot \frac {1}{x-2} = - \frac{1}{4}$

No segundo:

$\lim_{x \to 3} \frac { \sqrt {x} - \sqrt {3} } { (\sqrt {x} - \sqrt {3})(\sqrt {x} + \sqrt {3})} = \frac {1}{2\sqrt{3}}$

por **Molina** » Ter Jun 08, 2010 07:59

Eh verdade. Errei por excesso, hehe! Mas o resultado da o mesmo.

por **CloudP4** » Ter Jun 08, 2010 08:52

Opa muito bom, só não entendi ainda o porque a equação fica desse jeito após "ajustar o númerador", no caso, da onde surgiu esse $\frac{2-x}{2x}$

por **MarceloFantini** » Dom Jun 13, 2010 19:04

É só fazer o mmc.

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