[Urgente] Equações Diferenciais

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[Urgente] Equações Diferenciais

Mensagempor ps1 » Dom Jun 06, 2010 15:28

Ola pessoal!
Bem tenho duvida em 3 exercícios de equações diferenciais, podem-me ajudar?

Exercício 1
Suponha que um liquido deve ser purificado por decantação, através de um filtro cónico que mede 16 cm de altura e tem um raio de 4 cm no topo.
Suponha também que o liquido flui do cone a uma taxa constante de 2cm^3/minuto.
Qual a taxa de variação da altura do liquido no cone no instante em que o nivel está a 8cm?

Exercicio 2
Através da ruptura de um tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de círculo cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 m/min.
Determine a velocidade de crescimento da área do derramamento no instante em que o raio tem 60m.

Exercicio 3
A lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás é comprimida a uma temperatura constante, o produto da pressão pelo volume permanece constante: PV=c.
a) Determine a taxa de variação o volume em relação á pressão.
b) Supondo que num certo instante o volume é de 600cm^3, a pressão é de 150 kPa e a taxa de crescimento da pressão é de 20 kPa/min, determine a que taxa decresce o volume nesse instante.

Por favor ajudem.
ps1
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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