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Questão da FGV

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Mensagempor zenildo » Qui Mai 19, 2016 13:03

Segue anexo um problema. Este problema não consegui resolver devido eu não saber interpreta-lo.
Anexos
Screenshot_2016-05-19-11-32-40.png
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Re: Questão da FGV

Mensagempor Daniel Bosi » Qui Mai 19, 2016 15:32

Analisando a figura perceba o seguinte: a distância do ponto M até o 0 é o cosseno de \alpha em radianos. A distância do "início" do eixo x à esquerda até o M deve ser a mesma distância de M até P (pois a reta inclinada faz um ângulo de 45 graus). Assim sendo, é razoável concluir que a distância de M até P é 1-cos(\alpha), lembrando que este ciclo trigonométrico tem raio 1.
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Re: Questão da FGV

Mensagempor zenildo » Qui Mai 19, 2016 18:50

Resolvi fazer deste modo. Então, fiz as representações, porém não consegui finalizar os cálculos. Alguém poderia me ajudar a compreender?
Anexos
IMG_20160519_173059685.jpg
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Re: Questão da FGV

Mensagempor Daniel Bosi » Qui Mai 19, 2016 23:17

Zenildo, perceba que o que você representou como 0M é o cos(\alpha). Basta substituir.
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Re: Questão da FGV

Mensagempor Daniel Bosi » Sex Mai 20, 2016 09:57

Zenildo, percebi um detalhe que fugiu da minha interpretação: nesse quadrante o cosseno é negativo, o que significa que o resultado de cos(\alpha) será negativo. Portanto, para a resposta ser o comprimento de M até P, é necessário mudar o sinal e o resultado fica 1+cos(\alpha).
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Re: Questão da FGV

Mensagempor zenildo » Sex Mai 20, 2016 10:25

MB.MN = MQ.MA equivalente a:

Entende-se o ponto médio (M) ser equidistante entre MB e MN. Dessa forma, evidencia-se adotar: MB.MB, como MB^2.

Outro ponto importante, é perceber uma equidistancia também entre: MO=MQ. Então, se eu escrevo:
MO = (1-PM).Por outro lado, ora, se eu tenho MA, tenho, pois, o raio valendo um e operando de dois lados. Soma-se 2. Sendo 2-PM, porque MB^2 equivale a mesma distância em relação a linha horizontal, ficando MB^2= PM(2-PM).

Eis então a fórmula abaixo:

MB.MN = MQ. MA
MB^2= PM.(2-PM)

Veja se meu raciocínio esta certo ou errado,ou, se tem alguma forma de fazer que possibilite acertar com mais intuitividade.
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Re: Questão da FGV

Mensagempor Daniel Bosi » Sex Mai 20, 2016 11:21

A meu ver é mais simples que isso. Particularmente, eu não vejo a necessidade de operar tanto com segmentos de reta. O que é importante é perceber de cara que o segmento M0 é o cos(\alpha). Basta perceber que:

(1) MQ = MP (o segmento MQ e MP têm o mesmo tamanho)

(2) MQ + M0 = 1 (a soma de MQ com M0 é o raio do círculo)

De (1) sabemos que MQ = MP, basta substituir MQ em (2):

MP + M0 = 1

Agora basta perceber que M0 é o cosseno do comprimento \alpha, pois M0 é um comprimento que parte do ponto 0 no eixo dos cossenos e corresponde ao comprimento do arco.

O porém, como eu comentei anteriormente, é que esse cosseno dá um resultado negativo entre 0 e -1. Portanto, para obter o comprimento de MP é necessário expressar a resposta como 1+cos(\alpha).
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Re: Questão da FGV

Mensagempor zenildo » Sex Mai 20, 2016 13:55

Estaria certo desse modo que interpretei? Apesar de não saber se está matematicamente correto. Poderia corrigir?
Anexos
IMG_20160520_124623299.jpg
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Re: Questão da FGV

Mensagempor Daniel Bosi » Sex Mai 20, 2016 14:38

Zenildo, na realidade eu não entendo o que você quer dizer quando expressa MB.MN, por exemplo. Você poderia explicar para que eu possa entender essa notação?
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Re: Questão da FGV

Mensagempor zenildo » Seg Mai 23, 2016 13:13

Quis fazer simplesmente uma demonstração geral. Sendo que, essa demonstração explica a sua orientação direta de como fazer o raciocínio. Nada demais.
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Re: Questão da FGV

Mensagempor zenildo » Seg Mai 23, 2016 13:24

Quanto a relação MB.MN, se deu por meio de serem simétricos ao ponto M.Entao,o produto dos dois, MB. MB, correspondem a igualdade.
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Re: Questão da FGV

Mensagempor adauto martins » Ter Mai 24, 2016 13:20

considere o ponto C(-1,0)...logo temos q. MP=MC=x(mostre isto,é facil por semelhança de triang. ou angulo interno)...logo teremos \Delta OMP q. tg(\pi-\alpha)=x/(1-x)\Rightarrow tg(\pi-\alpha)=(tg\pi-tg\alpha)/(1+tg\pi.tg\alpha)=-tg\alpha=x/(1-x)\Rightarrow -tg\alpha(1-x)=x... e ai é isolar o x,resolva o restante...
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Re: Questão da FGV

Mensagempor zenildo » Sáb Jun 18, 2016 01:50

Adauto, tentei resolvê-la, porém não consegui. Tem como demonstrar como se resolve isto, pois tenho problemas em visualizar o que disse
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Re: Questão da FGV

Mensagempor adauto martins » Dom Jun 19, 2016 14:18

meu caro zenildo,
eu cometi um erro ai,e espero q. vc entenda a resoluçao:
prim. espero q. vc tenha entendido o ponto C(-1,0)da intersecçao do eixo-abscissas e pq o triang.\Delta CMP é isosceles...entao vamos á sol.correta:
tomando o \Delta OBM teremos:
tg(\pi-\alpha)=MB/(1-x) e MB=\sqrt[]{1-{(1-x)}^{2}},logo
tg(\pi-\alpha)=-tg\alpha=\sqrt[]{1-{(1-x)}^{2}}/(1-x)...
-tg\alpha=\sqrt[]{1-{(1-x)}^{2}/{(1-x)}^{2}}=\sqrt[]{1/{(1-x}^{2})-1}\Rightarrow {tg\alpha}^{2}=1/{(1-x)}^{2}-1
\Rightarrow 1/{(1-x})^{2}={tg\alpha}^{2}+1={sec \alpha}^{2}\Rightarrow {(1-x)}^{2}=1/{sec\alpha}^{2}\Rightarrow 1-x=1/sec\alpha\Rightarrow x-1=cos\alpha\Rightarrow x=1+cos\alpha...
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Re: Questão da FGV

Mensagempor adauto martins » Dom Jun 19, 2016 14:27

eita outra correçao,é o latex,desculpe-me,erro mesmo:
1-x=cos\alpha\Rightarrow x=1-cos\alpha...obrigado
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D