PARECE FÁCIL - Cálculo de sin(x+y)

por **Taah** » Dom Mar 28, 2010 13:39

Calcule sin(x+y) em função de a e b, sabendo que o produto ab $\neq$ 0, que sinx + siny = a e que cosx + cosy = b

por **Elcioschin** » Dom Mar 28, 2010 18:07

senx + seny = a ----> 2*sen[(x + y)/2]*cos[(x - y)/2] = a ----> I
cosx + cosy = b ----> 2*cos[(x + y)/2]*cos[(x - y)/2] = b ----> II

I : II ----> sen[(x + y)/2]/cos[(x + y)/2] = a/b ----> sen²[(x + y)/2]/cos²[(x + y)/2] = a²/b² ----> sen²[(x + y)/2]/{1 - sen²[(x + y)/2]} = a²/b² ---->

b²*sen²[(x + y)/2] = a² - a²*sen²[(x + y)/2] ----> sen²[(x + y)/2] = a²/(a² + b²) ---->sen[(x + y)/2] = a/V(a² + b²) ----> III

sen(x + y) = sen[(x + y)/2 + sen(x + y)/2] ----> sen(x + y) = 2*sen[(x + y)/2]*cos[(x + y)/2] ----> sen²(x + y) = 4*sen²[(x + y)/2]*cos²[(x + y)/2] ---->

sen²(x + y) = 4*sen²[(x + y)/2]*{1 - sen²[(x + y)/2]} ----> sen²(x + y) = 4*sen²[(x + y)/2] - 4*{sen²[(x + y)/2]}² ----> IV

III em IV -----> sen²(x + y) = 4*[a²/(a² + b²)] - 4*[a²/(a² + b²)]² ----> sen²(x + y) = 4a²/(a² + b²) - 4*a^4/(a² + b²)² ----> sen²(x + y) = [4a²*(a² + b²) - 4a^4]/(a² + b²)²

sen²(x+ y) = 4a²b²/(a² + b²)² ----> sen(x + y)= 2ab/(a² + b²)

por **Taah** » Seg Mar 29, 2010 14:44

E se eu fizesse:
sen(x+y)= ?
senx + seny = a
cosx + cosy = b

a = 2.sen $\left( \frac{x+y}{2} \right)$ .cos $\left( \frac{x-y}{2} \right)$
b = 2.cos $\left( \frac{x+y}{2} \right)$ .cos $\left( \frac{x-y}{2} \right)$

_________________________________________________________________________
a + b = 2.sen $\left( \frac{x+y}{2} \right)$ .cos $\left( \frac{x-y}{2} \right)$ + 2.cos $\left( \frac{x+y}{2} \right)$ .cos $\left( \frac{x-y}{2} \right)$
a + b = 2.cos $\left( \frac{x+y}{2} \right)$ . $\left[ \left(sen. \frac{x+y}{2} \right)+ cos.\left( \frac{x+y}{2} \right) \right]$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

a² + 2ab + b² = 4.cos² $\left( \frac{x-y}{2} \right)$ . $\left[ sen²\left( \frac{x+y}{2} \right) + 2.sen\left( \frac{x+y}{2 \right)}.cos\left( \frac{x+y}{2} \right) + cos²\left( \frac{x+y}{2} \right) \right]$

a² + 2ab + b² = $4.\frac{1}{2}$ . $\left[ cos.(x-y) + 1 \right].\left[ 1 + sen.(x+y) \right]$

2. $\left[ cos.(x-y) + 1 \right].\left[ 1 + sen.(x+y) \right] = a² + 2ab + b²$

$1 + sen(x+y) = \frac{a² + 2ab + b²}{2. \left[ cos(x-y) + 1 \right]}$

$sen(x+y) = \frac{a²+ 2ab + b²}{2.\left[ cos(x-y) + 1 \right]}$

Nossos resultados divergem entre si!
E agora???

por **Elcioschin** » Seg Mar 29, 2010 15:54

1) Primeiramente existe um erro na 4ª linha----> a + b = 2*cos[(x - y)/2]*[ ..... ----> O sinal deveria ser de subtração. Na próxima linha vc já corrigiu.

2) Em segndo lugar vc escreveu no final ----> a² + 2ab + b² = a*Â² + ab + bÂ² ----> Não entendí nada! O que é Â² ? Suponho qe seja do LaTeX.

3) A sua solução DEVERIA ser função somente de a, b (conforme enunciado) e vc deixou em função de cos(x - y) e deste tal Â²

Assm vc não chegou numa solução válida e, portanto, não pode comparar com a minha solução.

Finalmente, para confirmar que minha solução está correta, faça um teste:

Faça, por exemplo x = 30º e y = 60º
Calcule a, b
Calcule sen(x + y), usando a fórmula que eu deduzí.
Calcule sen(x + y) diretamente, substituindo pelos valores dados.
Compare as duas soluções.

Se quiser, escolha outros valores de x, y e faça o mesmo (por exemplo x = 45º e y = 45º)

por **Taah** » Seg Mar 29, 2010 16:02

Brigada!
To errada.. o tal A^ q aparece aí é do editor msm! Hehe
Mas olha, em relação ao teu cálculo

Poderias então me explicar o como dezenvolvesse a 4ª linha do teu cálculo?

Por favor... Vlw!

por **Elcioschin** » Seg Mar 29, 2010 16:13

Nas duas primeiras linhas simplesmente transformei as somas em produtos (Fómula básica da trigonometria: pesquise)

Depois dividí uma equação pela outra e fiz mudanças simples de membros, até chegar em III

Depois usei a fórmula do arco metade ----> sen(2m) = sen(m + m) = 2*sen(m/2)*cos(m/2) fazendo m = (x + y)/2

Mais algumas simplificaçõe algébricas até chegar em IV

Depois substituí III em IV e mais algumas transforações simples

Leia com cuidado, ou melhor escreva vc pessoalmente que entenderá.

por **Taah** » Seg Mar 29, 2010 16:36

Olá novamente!
Desde o princípio venho escrevendo o seu cálculo, porém (creio que já esteja cansada!) não consigo compreender como voce chegou a colocar a²+b² como divisores da questão.
Parece-me que essas suas modificações simples não são tão simples para mim.
Seria de muito abuso me descrever suas mudanças simples de membro até chegar em a²+b² como divisores?

Desde já agradeço!