[Limites] x no denominador, x tende a 0

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[Limites] x no denominador, x tende a 0

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[Limites] x no denominador, x tende a 0

Mensagempor AlexanderCanust » Seg Abr 27, 2015 20:37

\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[2]{x+2}+\sqrt[2]{x+6}-\sqrt[2]{6}-\sqrt[2]{2}}{x}

Bom... eu multipliquei a função pelo divisor, e achei x², o que me permitiu "cortar" o x.
\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sqrt[2]{x+2}+\sqrt[2]{x+6}-\sqrt[2]{6}-\sqrt[2]{2}}

Porém, mesmo assim eu não posso substituir x por 0, pois ainda assim meu denominador vai igualar a 0.

Desde já agradeço pela ajuda. :)
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Re: [Limites] x no denominador, x tende a 0

Mensagempor adauto martins » Ter Abr 28, 2015 15:46

L=\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt[]{x+2}-\sqrt[]{2})/x+\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt[]{x+6}-\sqrt[]{6})/x=\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt[]{x+2}-\sqrt[]{2}).(\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{2})/(x.(\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{2}))+\lim_{x\rightarrow 0}(\sqrt[]{x+6}-\sqrt[]{6}).(\sqrt[]{x+6}+\sqrt[]{6})/(x.(\sqrt[]{x+6}+\sqrt[]{6}))=\lim_{x\rightarrow 0}x/(x.(\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{2}))+\lim_{x\rightarrow 0}x/(x.(\sqrt[]{x+6}+\sqrt[]{6}))=\lim_{x\rightarrow 0}1/(\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{2})+\lim_{x\rightarrow 0}1/(\sqrt[]{x+6}+\sqrt[]{6})==1/(2\sqrt[]{2})+1/(2\sqrt[]{6})...
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Re: [Limites] x no denominador, x tende a 0

Mensagempor AlexanderCanust » Ter Abr 28, 2015 19:40

Perfeito. Muito obrigado. ;)
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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