[limite] Demonstrando um limite pela definição

por **lucasvier4** » Qui Abr 16, 2015 22:46

Boa noite, gente.
Eu gostaria de saber, por gentileza, como é que posso demonstrar pela definição de limite o seguinte:
$\lim_{x->2} {x}^{3} = 8$

Quando eu tento, paro na seguinte parte: $|x - 2| < \delta => |x-2||{x}^{2}+2x+4|<\epsilon$
Daí fazendo $|{x}^{2}+2x+4|< M$ , chego à conclusão que $\delta =\epsilon/M$ , mas a partir daí não sei como proceder quanto à equação do segundo grau... alguém pode me mostra como fazer essa?

por **adauto martins** » Sáb Abr 18, 2015 12:25

dado $\epsilon \succ 0,\exists \delta \succ 0,tal q. 0\prec \left|x-2 \right|\prec \delta \Rightarrow \left|{x}^{3}-8 \right|\prec \varepsilon$ ,aqui e procurar um $\delta=\delta(\epsilon)$ q. satisfaz a definiçao...entao:
$\left|{x}^{3}-8 \right|=\left|(x-2)({x}^{2}+2x+4 \right|\preceq \left|x-2 \right|.\left|{x}^{2}+2x+4 \right|\prec \delta.\left|{x}^{2} +x+4\right|$ ,como $\delta =min{{\delta}_{1},{\delta}_{2},...{\delta}_{n}}$ ,ou seja ha inumeros deltas q. podem satisfazer o valor de epsilon,entao vamos tomar $\epsilon =4\delta$ ...logo...
$\left|{x}^{3}-8 \right|\preceq \left|x-2 \right|\left|{x}^{2}+2x+4 \right|\prec \delta.\left|{x}^{2}+2x+4 \right|\prec \delta.4=\epsilon$

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