Uma equação do tipo
pode ser resolvida usando a Função W de Lambert.
Partamos da sua definição.
Se
é tal que
,
então
.
Ou seja,
se existir solução(ões) para a equação do tipo
(1) então nossa esperança é que ao menos uma seja obtida pela função W de Lambert.
A sua equação pode ser escrita dessa forma fazendo uma
mudança de variável conveniente. Isto é, vamos mudar da variável
para uma outra
. Mas antes, caso você não o conheça, vamos falar de
.Este número
é o chamado Número de Euler. É um número irracional. É com ele que se define a
função exponencial . Note que podemos usar esta função para escrever qualquer outra função de potência em qualquer outra base. Da definição de função logarítmica podemos escrever que
onde
é a função logarítmica de base
.
Assim, podemos começar a transformar a sua equação da forma
.
Você lembra que para quaisquer Reais
e
vale
? Então, vamos multiplicar a expressão obtida em ambos membros por
:
Estamos quase lá!! Para colocar, finalmente, a equação na forma desejada (1) basta agora multiplicá-la por
. Veja
Pronto! Se você tomar
e
, então a equação acima se muda para
que é exatamente o tipo de equação resolvida pela Função W de Lambert.
Portanto, temos
de onde, fazendo a substituição inversa
que calcula
Se você deseja solucionar a equação
basta tomar,como eu imagino que você saiba,
e
. Assim,
Esta
seria a solução. Entretanto, examinando melhor a equação
notamos que ela não possui solução Real. :(
É fácil de notar isto. Faça o gráfico de
e sobreponha ao gráfico de
. Você verá que a função
cresce muito rapidamente de modo que a função
não a consegue alcançar em nenhum ponto
. Isto é, não existe
tal que
.
Um caso interessante é considerar a equação
. Repetindo o processo de graficar as funções nota-se facilmente que esta equação tem duas soluções
e
. É fácil de verificar. De fato,
Aplicando a função W temos a solução
.
Agora, este número vale
ou ou nenhum destes( no caso de termos azar). Da própria definição de função não pode existir dois valores para um mesmo
. Então a função W fornece ao menos uma raiz(ou nenhuma) da equação, como eu citei antes.
Mais ou menos isso que você queria?