[Equação matricial envolvendo matriz inversa] Como isolar X?

por **Mario_Mascarenhas** » Sáb Mar 22, 2014 17:52

Olá, pessoal.
Estou com dificuldade para isolar o X em uma questão.

(B.A^t)^t.X.B.A^t = 4A.A^t + C.X.B.A^t

O professor isolou o x e ficou assim. Não entendi de que modo ele chegou a isso:

X = [(B.A^t)^t - C]^-1 . 4A.A^t . (B.A^t)^-1

Alguém poderia me explicar, detalhadamente?
Obrigado.

Obs.: o " ^t " significa matriz transposta.

por **e8group** » Seg Mar 24, 2014 01:12

Boa noite !

Só para simplificar vou considerar $W = B \cdot A^t$ e escrever a eq.matricial como

$W^t \cdot X \cdot W = 4 A \cdot A^t + C\cdot X \cdot W$

ou

$W^t \cdot (X \cdot W) = 4 A \cdot A^t + C\cdot( X \cdot W)$

ou ainda

$W^t \cdot (X \cdot W) - C \cdot ( X \cdot W) = 4 A \cdot A^t$

Agora observe que deixando a matriz entre parêntesis em evidência , temos

$(W^t - C) (X \cdot W) = 4 A \cdot A^t$ (Se aplicar a distributiva chegará na mesma eq. acima)

Para isolar

, a matriz W^t - C

e

devem ser invertíveis . Daí é só multiplicar ambos os membros por $(W^t - C)^{-1}$ (pela esquerda) e $W^{-1}$ (pela direita) .

Isto é , $(W^t - C) (X \cdot W) = 4 A \cdot A^t \implies (W^t - C)^{-1}(W^t - C) (X \cdot W)= 4(W^t - C)^{-1} A \cdot A^t \implies I \cdot (X \cdot W) = X \cdot W = 4(W^t - C)^{-1} A \cdot A^t$ . Agora é só fazer a segunda etapa e dps subst. W por B \cdot A^t .