limites

por **rita_ribeir0** » Dom Fev 02, 2014 13:27

$\lim_{x\rightarrow0+} ({e}^{\frac{1}{x}} log x)$ como calcular este limite?

por **e8group** » Dom Fev 02, 2014 18:02

Usando propriedades operatórias de limites você conclui que o limite é $- \infty$ . Para ser mais preciso , basta mostra que para quaisquer seja um número real negativo dado é possível encontrar um número $\delta > 0$ correspondente ,tal que se $x < \delta$ então exp(1/x) log(x)

é estritamente menor que o número dado .Em símbolos ,

$\lim_{x\to 0^+} exp(1/x) log(x) = -\infty \iff$ para todo M < 0

dado, existe $\delta=\delta(N) > 0$ tal que se $x < \delta$ então $e^{1/x} log(x) < N$ .

Veja alguns exemplos ... Antes porém , observe que se $x \in (0,1)$ então log(x) < 0

e $e^{1/x} > 1$ .Logo, multiplicando-se a segunda desigualdade por log(x)

obtemos que $e^{1/x}log(x) < log(x)$ .

Agora considere M = - 2

. Devemos encontrar um $\delta$ correspondente de

(notação $\delta(M)$ ) tal que se a desigualdade $x < \delta(M)$ é verdadeira então obrigatoriamente exp(1/x)log(x) < -2

. Aplicando o log em $x < \delta(M)$ temos $log(x) < log(\delta(M))$ ,logo por transitividade $epx(x)log(x) <log(\delta(M))$ . Daí pondo $log(\delta(M)) = M$ , resulta , $\delta(M) = e^{M}$ . Assim podemos concluir que dado M = -2

, tomando-se $\delta = e^{-2}$ teremos que se $x < e^{-2}$ então $epx(x)log(x) < log(x) < log(e^{-2}) = - 2$ .

Observe que poderíamos também tomar $0< \delta < 1/e^2$ .

E analogamente se M = -2 , -9,-55555,-111111111111111

ou $M= - \pi ^{55555555}$ ... enfim qualquer que seja M < 0

basta por $\delta = e^M$ ou $0 <\delta < 1/e^{-M} )$ .Desta forma se $x < \delta$ então epx(1/x)log(x) < M

.

OBS.: Se a notação log(x) [/tex] designa o logaritmo de base 10, basta trocar "e" por "10" ... desta forma ficaria $\delta = 10^M$ .

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