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[Cálculo] Integral

[Cálculo] Integral

Mensagempor Pessoa Estranha » Sáb Jan 11, 2014 17:35

Olá, pessoal!

Por que a minha resolução do seguinte exercício está errada?

\int_{}^{}\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}dx

Pelo Teorema da Mudança de Variável, temos:

u = tg(x) \rightarrow du = \frac{1}{{cos}^{2}x} dx

Daí,

\int_{}^{}\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}dx = \int_{}^{}tg(x)\frac{1}{{cos}^{2}(x)}dx = \int_{}^{} (u) du = \frac{{u}^{2}}{2} + k = \frac{{tg}^{2}(x)}{2} + k

Obrigada!
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor anderson_wallace » Sáb Jan 11, 2014 22:34

Sua resolução, assim como sua resposta final estão corretas!

Por que vc acha que está errada?
anderson_wallace
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor Pessoa Estranha » Sáb Jan 11, 2014 23:31

Então, é que no livro a resposta é outra. Daí, para confirmar, eu usei o "wolframalpha", mas deu a mesma resposta que a do livro.

Obrigada por responder!
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor anderson_wallace » Dom Jan 12, 2014 13:30

É muito comum acontecer isso quando resolvemos integrais porque geralmente para a integral de uma mesma função há várias formas de resolver. Cada modo de resolver chega numa função equivalente, mas que em muitas vezes não são expressas da mesma forma.
Nesse caso específico além da substituição simples vc poderia simplificar e usar uma fórmula de recorrência.
Lembrando que integração e derivação são processos inversos, um dos melhores modos de conferir se sua resposta está certa é deriva-la.

\frac{d}{dx}{(\frac{{tg}^{2}x}{2}+k)}=\frac{1}{2}2tg(x)(\frac{d}{dx}tg(x))=tg(x){sec}^{2}(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}\frac{1}{{cos}^{2}(x)}=\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}

De fato, sua resposta está certa.
anderson_wallace
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor Pessoa Estranha » Dom Jan 12, 2014 13:44

Está bem! Muito Obrigada pela ajuda! :y: :-D
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor Guilherme Pimentel » Seg Jan 13, 2014 06:04

Pessoa Estranha escreveu:Olá, pessoal!

Por que a minha resolução do seguinte exercício está errada?

\int_{}^{}\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}dx

Pelo Teorema da Mudança de Variável, temos:

u = tg(x) \rightarrow du = \frac{1}{{cos}^{2}x} dx

Daí,

\int_{}^{}\frac{sen(x)}{{cos}^{3}(x)}dx = \int_{}^{}tg(x)\frac{1}{{cos}^{2}(x)}dx = \int_{}^{} (u) du = \frac{{u}^{2}}{2} + k = \frac{{tg}^{2}(x)}{2} + k

Obrigada!

Note que:

tg^{2}(x) + 1=  sec^2(x)

e sua resposta se transforma na do WA. (corrigido)
Editado pela última vez por Guilherme Pimentel em Qua Jan 15, 2014 04:38, em um total de 1 vez.
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor Pessoa Estranha » Ter Jan 14, 2014 09:20

1+{sec}^{2}x = 1+\frac{1}{{cos}^{2}x} = \frac{{cos}^{2}x + 1}{{cos}^{2}x} = \frac{2{cos}^{2}x + {sen}^{2}x}{{cos}^{2}x} = \frac{{2-{sen}^{2}x}^{}}{{cos}^{2}x}

Desculpe, mas não consegui chegar no procurado.

Obrigada por responder! :)
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor Pessoa Estranha » Ter Jan 14, 2014 09:24

{tg}^{2}x = \frac{{sen}^{2}x}{{cos}^{2}x} = \frac{1-{cos}^{2}x}{{cos}^{2}x} = {sec}^{2}x - 1

Olha, se eu não errei nas manipulações, o certo não é assim?
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor Man Utd » Ter Jan 14, 2014 21:49

Pessoa Estranha escreveu:{tg}^{2}x = \frac{{sen}^{2}x}{{cos}^{2}x} = \frac{1-{cos}^{2}x}{{cos}^{2}x} = {sec}^{2}x - 1

Olha, se eu não errei nas manipulações, o certo não é assim?




Vc está certa.
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor Pessoa Estranha » Ter Jan 14, 2014 22:28

Obrigada! :y:

Obrigada a todos que me ajudaram neste tópico!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?