• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

operações de conjuntos

operações de conjuntos

Mensagempor Sergio Ribeiro Alves » Qui Fev 14, 2008 10:40

Mentes brilhantes de plantão responda-me o porque de (-3)*(-2)=+6;
Só não quero que diga que na multiplicação (-)com (-) é mais .

E o porque de numa divisão de (2/3) / (3/5) tem-se o inverso da segunda fração e não da primeira?
Sergio Ribeiro Alves
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 1
Registrado em: Qui Fev 14, 2008 10:28
Área/Curso: Estudante
Andamento: cursando

Re: operações de conjuntos

Mensagempor admin » Qui Fev 14, 2008 16:21

Olá Sergio.
O adjetivo que você usou não cabe a mim, de qualquer forma vou fazer alguns comentários.

Sobre as suas duas perguntas, apenas formalizando, em outras palavras, de fato você quer resolução para os seguintes problemas:

1) Sendo a,b \in \mathbb{Z}, prove que: (-a) \cdot (-b) = a\cdot b
Neste caso, a e b estão limitados ao conjunto dos inteiros, mas a idéia pode ser extendida para outros conjuntos.


2) Sendo a,b \in \mathbb{Q}, prove que: \frac{a}{b} = a \cdot \frac1b


Embora a teoria dos conjuntos esteja presente em praticamente todos as aspectos matemáticos, este tema é mais tratado em álgebra.
Farei um breve percurso teórico nestas provas que, matematicamente, responderá as suas perguntas.
Mas, a abstração e uma didática interpretação destes resultados, sim, continuará sendo um desafio.
E mesmo citando o curso de graduação da USP, acredite, salvo algumas raras exceções, para nossa decepção, os professores passam longe deste trabalho.
Lidar com as sutilezas, fica por conta do aluno.

Assuntos como estes são tratados como triviais no ensino pré-graduação, uma vez que requerem uma pesada carga teórica, com um grau de formalização até então não utilizado.

Sobre parte desta teoria, veja em nossa bibliografia, você encontrará assuntos relacionados em:
MILIES, Francisco César Polcino e COELHO, Sônia Pitta. Números: Uma Introdução à Matemática, 3a.edição. São Paulo: EDUSP, 2003.

Recomendo a leitura da introdução.
Sendo mais específico, da página 13 à 18, você terá conteúdo sobre sua dúvida 1.
E da página 156 à 163, sobre a sua dúvida 2.

Você verá que para começar, é necessária uma introdução axiomática.
Pesquise também sobre anéis, domínios de integridade e corpos, veja em:
GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra, 5a.edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2006.

O conjunto dos inteiros é um domínio de integridade.
O conjunto dos racionais é um corpo.


No caso (1), como \mathbb{Z} é um domínio de integridade, este conjunto satisfaz um grupo de axiomas relacionados às operações de soma e produto: propriedade associativa da soma, existência do elemento neutro aditivo, existência do oposto aditivo, comutatividade da soma, associatividade do produto, distributividade à esquerda e à direita, é um anel com unidade, comutativo e não tem divisores de zero.

Para provarmos (1), partimos do axioma do oposto aditivo:

Existência do oposto: para cada inteiro a existe um único elemento que chamaremos oposto de a e indicaremos por -a, tal que
a+(-a)=0

Este axioma também pode ser interpretado assim:
O oposto de um elemento a é o único inteiro que verifica a equação a+x=0.

Então, precisamos antes provar (i):
-(-a)=a

Observando que a verifica a equação (-a)+x=0.
Conseqüentemente, a é o oposto de -a que é o elemento indicado por -(-a).

Na seqüência, precisamos provar (ii):
(-a)(b)=-(ab)=a(-b)

Para a primeira igualdade, observamos que (-a)b é a solução de ab+x=0, já que:
ab+(-a)b=[(-a)+a]b=0 \cdot b = 0

Da mesma forma, ab+a(-b)=0.

E finalmente, para (1), aplicamos (ii):

(-a)\cdot (-b)=-(a(-b))=-(-(ab))

E usando (i) no último termo, segue que:
(-a)(-b)=ab.


Sergio, repare que este é um resumo do formalismo e que muitos conceitos aqui citados podem ser bem explorados, como por exemplo, provar que o conjunto dos inteiros é, de fato, um domínio de integridade.
Além do que, não citei explicitamente os axiomas, apenas fiz referência aos nomes.


Para provarmos (2), partimos da seguinte definição de produto entre elementos racionais:
Sejam \alpha e \beta elementos de \mathbb{Q}.
O produto de \alpha por \beta será o racional \alpha \beta obtido da seguinte forma:

\alpha \beta = \frac{ac}{bd}

Sendo \alpha = \frac{a}{b} e \beta = \frac{c}{d}.

Então, é necessário verificar que esta definição independe dos representantes, da seguinte forma, provando este lema:

Lema: Sejam \frac{a}{b} = \frac{a\prime}{b\prime} e \frac{c}{d} = \frac{c\prime}{d\prime} números racionais. Então,
\frac{ac}{bc} = \frac{a\prime c\prime}{b\prime d\prime}

Prova do lema: da hipótese, escrevemos:
ab\prime = ba\prime

cd\prime = dc\prime

Daqui, multiplicamos membro a membro:
ab\prime \cdot cd\prime = ba\prime \cdot dc\prime

Reescrevemos (propriedade associativa do produto):
ac \cdot b\prime d\prime = bd \cdot a\prime c\prime

E finalmente,
\frac{ac}{bd} = \frac{a\prime c\prime}{b\prime d\prime}

Ou seja, este lema nos diz que a defnição de produto vale para qualquer elemento racional.


Então, para provar (2), vamos partir do segundo membro:
a \cdot \frac1b = \frac{a}{1} \cdot \frac1b =
Aplicação da definição de produto:

= \frac{a\cdot 1}{1 \cdot b} =

Agora vamos aplicar o axioma da existência da unidade, lembrando que podemos fazer isso pois \mathbb{Z} é domínio de integridade:

= \frac{a}{b}



Note que os argumentos matemáticos necessários para esclarecer suas perguntas, precisam passar por este formalismo resumido aqui.
A leitura complementar é fundamental.

Espero não ter piorado.
Um abraço!
Fábio Sousa
Equipe AjudaMatemática.com
| bibliografia | informações gerais | arquivo de dúvidas | desafios

"O tolo pensa que é sábio, mas o homem sábio sabe que ele próprio é um tolo."
William Shakespeare
Avatar do usuário
admin
Colaborador Administrador - Professor
Colaborador Administrador - Professor
 
Mensagens: 886
Registrado em: Qui Jul 19, 2007 10:58
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática IME-USP
Andamento: formado


Voltar para Álgebra Elementar

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 5 visitantes

 



Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.