Trigonometria - Calcular expressões

por **METEOS** » Dom Out 27, 2013 16:59

Bom dia pessoal,
Estou a precisar de ajuda pois não consigo resolver o seguinte exercício:

"Sabendo que tg ( pi + a ) = -?15 (menos raiz de quinze), e que "a" pertence ] $\frac{pi}{2}$ , pi [
Calcule o valor da expressão: cos(-a) + cos ( $\frac{5}{2}$ pi + a) + tg a

Agradecia que me explicassem o porquê de tg (pi +a) dar uma raíz negativa, uma vez que eu achei que tínhamos de reduzir tudo ao 1º quadrante, logo a tangente seria positiva...Não sei se perceberam a minha dúvida, mas qualquer coisa que não percebam digam nas respostas.

por **e8group** » Dom Out 27, 2013 22:50

Note que se $a \in (\frac{\pi}{2},\pi)$ , então $\frac{3\pi}{2 } = \frac{\pi}{2} + \pi < a + \pi < \pi + \pi = 2\pi$ , isto é , $a + \pi \in (\frac{3\pi}{2},2\pi)$ .

Como $cos(a+\pi) > 0$ e $sin(a+\pi) < 0$ , segue que o quociente $sin(a+\pi)/cos(a+\pi) = tan(a+\pi)$ é sempre negativo . Por isso que o número $tan(a+\pi) = -\sqrt{15}$ dado é negativo . Certo ?

Para calcular a expressão ,veja a dica :

(1)

$cos(-a) = cos(-a + [-\pi + \pi] ) = cos(-[a+\pi]+ \pi) = cos(-[a+\pi])cos(\pi) - sin(-[a+\pi])sin(\pi) = - cos(a+\pi)$

(2)

$cos(5/2 \pi + a ) = cos( \frac{3\pi}{2} + [\pi +a]) = cos(\frac{3\pi}{2})cos(\pi+a) - sin(\frac{3\pi}{2})sin(\pi +a) = cos(\pi +a)$ .

...

Consegue terminar ?

por **METEOS** » Seg Out 28, 2013 17:17

Então, em que casos é que devemos efectuar uma redução ao 1º quadrante? Poderíamos efectuar neste caso uma redução ao 1º quadrante?

por **e8group** » Seg Out 28, 2013 18:14

Para qualquer arco $\theta$ pertencendo ao primeiro ,segundo ,terceiro ou quarto quadrante ,podemos reduzir o mesmo em relação ao primeiro quadrante.

Mas foi dado que tan(a+\pi) = - \sqrt{15} [/tex] e o arco $a+\pi$ pertence ao quarto quadrante ,como vimos no post acima . O arco

pertence $(\pi/2,\pi)$ ,isto é , ele está no segundo quadrante .Sendo assim seria desnecessário reduzir a+\pi ao 1° quadrante .

Observe que a soma dada se reduz a tan(a)

.Qual a relação entre tan(a)

e $tan(\pi + a)$ ?

por **METEOS** » Seg Out 28, 2013 18:27

"Qual a relação entre tan(a) e tan(\pi + a) ?"
Caso a seja do 2º quadrante, e pi+a pertença ao 4º quadrante.
No caso de a seja do 1º quadrante, e pi+a seja do 3º quadrante, também são iguais

Elas são iguais certo?

por **e8group** » Seg Out 28, 2013 19:05

Sim . $tan(a) = tan(a+\pi)$ . A função tangente é periódica de período $\pi$ , logo para quaisquer que seja $x \neq \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ (com k inteiro ) teremos a igualdade

$tan(x+ \pi) = tan(x)$ .Pode-se confirma esta igualdade utilizando a fórmula de adição de arcos .