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Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

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Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

por anapmarinho » Dom Out 20, 2013 17:25

Como eu resolvo o exercício?

Determine a equação da esfera que passa pelos pontos A=(2,3,-2), B=(1,0,-2) e C=(5,-1,-3) e possui centro no plano x-y+2z=-6

anapmarinho: Novo Usuário; Mensagens: 1; Registrado em: Dom Out 20, 2013 17:18; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia telecomunicações; Andamento: cursando

Re: Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

por e8group » Ter Out 22, 2013 20:22

Pensei da seguinte forma . Chamamos de $\pi$ o plano dado . E suponhamos que $M =(a,b,c) \in \pi$ seja o ponto médio da esfera .Ora ,se $M =(a,b,c) \in \pi$ , então suas coordenadas satisfaz a equação do plano que é :

x-y+2z = -6

x-y+2z = -6

. Logo ,

a -b +2c = - 6

.

Além disso , a esfera é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto fixo

. Assim , um ponto P= (x,y,z)

P= (x,y,z)

pertence a esfera se, e somente se ,

$d(P,M) = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 } = r = \text{constante}$ , ou de forma equivalente

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2

.Por outro lado ,

utilizando os pontos dados , temos

r^2 = [d(A,M)]^2 = [d(B,M)]^2 ] = [d(C,M)]^2 ]

r^2 = [d(A,M)]^2 = [d(B,M)]^2 ] = [d(C,M)]^2 ]

, ou seja ,

r^2 = (2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2 = (5-a)^2 + (-1-b)^2 + (-3-c)^2

r^2 = (2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2 = (5-a)^2 + (-1-b)^2 + (-3-c)^2

. Através da igualdade (2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2

(2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2

e tendo em vista que os termos a^2
,b^2,c^2

a^2
,b^2,c^2

em ambos lados da igualdade se cancelem , obteremos :

4 - 4a + 9 -6b + 4 -4c = 1 -2a + 4 + 4c

4 - 4a + 9 -6b + 4 -4c = 1 -2a + 4 + 4c

e isolando uma das variáveis como por exemplo "b" , segue

b = 2-a/3-(4 c)/3

b = 2-a/3-(4 c)/3

, mas lembrando que a -b +2c = - 6

a -b +2c = - 6

, ou seja , b = a+2c - 6

b = a+2c - 6

,então ,

2-a/3-(4 c)/3 = a+2c - 6

o que implica c = 12/5-(2 a)/5

c = 12/5-(2 a)/5

, substituindo esta expressão em b = a+2c - 6

b = a+2c - 6

, obterá

b = 1/5 (-6+a)

. Encontramos então as variáveis c,b

c,b

em função de a . Para determinar

. Basta substituir c,b

c,b

em

a -b +2c = - 6

.

Tente concluir e comente as dúvidas .

e8group: Colaborador Voluntário; Mensagens: 1400; Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia Elétrica; Andamento: cursando

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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = { $x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N$ } e B = { $x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z$ }, então o número de elementos A $\cap$ B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = { $x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N$ } você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = { $x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z$ } você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima

Bom estudo, :y:

:y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:

Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

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