funções periódicas (exercício do ime de 1995)

por **carlospires78** » Ter Out 27, 2009 09:19

seja f uma função real $\forall$ x $\in$ $\Re$ :f(x+a)=1/2+ $\sqrt[]{}$ f(x)-[f(x)]².F é periódica? justifique.

SEQUINDO O ENUNCIADO USEI O CONCEITO DE FUNÇÃO PERIÓDICA F(x+a)=f(x) , mas não consigo mostrar que ela é periódica .

por **BlackFoxes** » Sáb Dez 26, 2009 05:08

Olá. Também raciocinei assim. Se f(x+a)=f(x)

para todo x, então f é periódica. Basta provar que a igualdade é verdadeira ou não.
Logo: $f(x)=\frac{1}{2}+\sqrt[2]{f(x)-{f(x)}^{2}}$

${f(x)}^{2}-2f(x)+1=4f(x)-4{f(x)}^{2}$

$8{f(x)}^{2}-6f(x)+1=0$

$f(x)=\frac{6\frac{+}{-}2}{16}$

Ok, a função constante é periódica. Porém eu fiquei um pouco confuso, pois f é apenas períodica se f(x) assume os valores encontrados, porém não necessariamente o faz.
Espero que tenha ajudado em alguma coisa.
Abraços

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