derivada

por **e8group** » Sáb Abr 27, 2013 15:00

Observe que $\frac{2(x-1)}{3 \sqrt[3]{x}} = \frac{2x - 2}{3 x^(1/3)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{x^{1/3}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{-1/3} }= \frac{2}{3} \cdot x^{1 - 1/3} - \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3} \cdot x^{2/3} - \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3}$ . Assim ,

$f(x) = x^{2/3} + \frac{2}{3} \cdot x^{2/3} - \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3}$ .

Podemos derivar a função aplicando a regra $D_x(k \cdot x^n) = k \cdot n \cdot x^{n-1}$ em cada parcela .

por **Viviani** » Sáb Abr 27, 2013 15:13

Mas no gabarito a resposta é $f(x)=\frac{2(5x+1)}{9\sqrt[3]{{x}^{4}}}$ .
não estou conseguindo chegar nesse resultado :((

por **e8group** » Sáb Abr 27, 2013 16:29

É só uma questão de manipulação ,infelizmente a resposta não sai no formato do gabarito .Veja :

$f'(x) = [x^{2/3}+\frac{2}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3}]' = [x^{2/3}] ' + [\frac{2}{3}x^{2/3}]' + [- \frac{2}{3}x^{-1/3}]'$

$f'(x) = [x^{2/3}] ' + \frac{2}{3}[x^{2/3}]' - \frac{2}{3} [x^{-1/3}]'$ .

Vamos aplicar a regra de derivação $[x^n]' = nx^{n-1}$ em cada expressão que está dentro de colchetes [] .Temos

$f'(x) = \frac{2}{3} x^{2/3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{2/3 - 1} - \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-1/3-1}$

$f'(x) = \frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{4}{9} x^{2/3 - 1} + \frac{2}{9} x^{-4/3}$ .

Multiplicando "em cima " e "em baixo" por $9 x^{4/3}$ segue o resultado do gabarito .

OBS_.: Poderia também aplicar a mesma regra de derivação a $x^{2/3}$ e aplicar a regra do quociente em $\frac{2(x-1)}{3\sqrt[3]{x}}$ .

por **Viviani** » Sáb Abr 27, 2013 17:29

ahh ta, ok, muito obrigada pela explicação ! :-D

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