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por chronoss » Seg Abr 22, 2013 20:16
3ª Fase: Determine o menor número primo positivo que divide x² + 5x + 23 para algum inteiro x .
Obs: Não estudei congruências ainda, tem como resolver de outros modos?
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chronoss
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por e8group » Seg Abr 22, 2013 21:22
Considere
,completando quadrados ,podemos reescrever
como
para quaisquer
.Assim ,é fácil ver que
em
.Mas ,como
inteiro ,calculando
e
,obtemos
que neste caso , o menor número primo positivo que divide
é o próprio 17 .
Tente concluir a parti daí .
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por chronoss » Seg Abr 22, 2013 23:22
A conclusão não está na ultima linha? Não vejo como acrescentar algo de relevante.
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por e8group » Ter Abr 23, 2013 11:15
A conclusão não está na última linha ,mas ela é importante (veremos porque).
Minha estimativa é que 17 seja o menor número primo positivo que divide
,será ?Como provar ?
Sugestões para a solução :
Suponha que exista
(dependendo de x) tal que
.Se provarmos que de fato existam
e que o produto deles é par, poderemos concluir que 17 é o menor número primo positivo que divide
(Por quê ?).É isto que vamos fazer .
O número
que é ponto de mínimo de
estar compreendido entre
e
e
(note que estes valores são raízes da equação
) .Assim ,tomando-se
e
,segue
.
O que acontece com o produto
se tomarmos
e
,o produto é sempre par (múltiplo de 2)?
Pense sobre isto .
OBS.: Há de ter outra formas de resolver este exercício .
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por chronoss » Ter Abr 23, 2013 14:38
Obrigado , vou pensar .
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por chronoss » Qui Jul 04, 2013 10:11
O raciocínio seria que como ( x + 2 )( x + 3 ) --> sempre par , 17 + par = impar , a função sempre adota valores impares logo ela não é divisível por 2 (primo)??
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por e8group » Qui Jul 04, 2013 19:00
Este exercício é interessante .Tenho uma nova idéia .Gostaria de opiniões dos demais usuários .Mas vamos resslatar algumas informações que temos sobre o exercício .Segue elas ...
Sabemos
,
temos sempre
um número par , ou seja ,
tem-se
um número impar.(Verifique !) .
Quanto a solução , pelo Teorema fundamental da aritmética ,sempre conseguimos números primos
tais que para cada
,
com
(Observe o item 2) .Assim , definido os números primos ,
.Agora pelo item (1) ,
, ou seja ,
. Logo ,
.Vemos então ,
para que
. Mas , o número
é impar e diferente que
,donde obtemos
.
Como os números
são primos , logo a decomposição
é a trival .Assim ,
.Se
,isto contraria a hipótese
.Caso fosse
,
só poderia ser
pois
,logo não existe
tal que
. Caso ,
.Segue ,
,mas isto implica
(por favor faça as contas) .Assim , fica evidente que
é uma contradição .Para
,segue
que não é possível determinar
para este caso (Observe as contas acima , basta trocar as letras
com
e manter as estruturas algébricas ) .Assim , só podemos ter a decomposição trivial para
.Assim , sendo , segue
logo o menor primo positivo que divide
é
.
Peço desculpas ,não conseguir organizar as idéias da forma que queria devido a falta de tempo .De qualquer forma espero que ajude .
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por e8group » Sex Jul 05, 2013 00:16
Boa noite .Minha solução está incompleta . Acabei esquecendo de analisar o caso em que
com
(pois ,se
então sempre
) .Neste caso ,
,logo podemos ter
.Além disso,falta analisar o caso em que
.Quando estiver disponível tentarei terminar esta questão .
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por e8group » Sex Jul 05, 2013 12:09
Bom dia .Mesmo após ter acrescentado aquelas informações pendentes na resolução ,ainda não estou satisfeito com a resolução .Vou continuar pensando sobre esta questão , assim que tiver melhores idéias postarei aqui ,infelizmente só não posso prometer a data pois tenho outras atividades a fazer.Entretanto ,fique à vontade para postar o que entendeu sobre a questão e também sobre como você pensou em desenvolver a mesma. A princípio sem provas , apenas verificando alguns valores inteiros para
,observei a função aplicada a estes valores sempre retornou como resposta um número primo .Se conseguimos provar isto(caso fosse verdade) ,ficaria fácil concluir que o menor primo positivo que divide
é o 17 já que o menor valor que a função assume é 17 que para a nossa sorte é primo .
Aguardo repostas .
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por chronoss » Dom Jul 07, 2013 14:31
Pensei no seguinte para verificar cada caso individualmente :
(1) A função pode ser expressa por : f(x) = ( x + 2 )( x + 3 ) + 17 , que também pode ser representada por : f(n) = 17 + n( n + 1 ) [ com n em função de x ] , que nada mais é que 17 + [ soma dos n primeiros números pares : 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n( n + 1 )] ; logo a função sempre adota valores ímpares .
(2) Agora considerando o seguinte teorema :
Se b1 e b2 deixam restos r1 e r2 na divisão por a , respectivamente , então:
b1 + b2 deixa o mesmo resto que r1 + r2 na divisão por a
b1 . b2 deixa o mesmo resto que r1 . r2 na divisão por a.
Analisaremos cada número primo menor que 17 para verificar se dividem a função .
3 | f(x) => 3 | f(n) => 3 | 17 + n( n + 1 ) ; seja : 17 = b1 , n( n + 1 ) = b2 onde concluímos pelo teorema que : 3 | f(n) se e somente se : a soma dos restos r1 e r2 , de b1 e b2 (respectivamente) , deixar resto 0 quando dividida por 3 , ou seja se : 3 | ( r1 + r2 ).
Os possíveis restos na divisão por 3 são : 0 , 1 , 2 .
17 deixa resto igual a 2 , quando dividido por 3 , logo r2 deve ser igual a 1 para que afirmação : 3 | f(n) seja verdadeira .
r2 = 1 , se e somente se : o produto dos restos r3 e r4 das de divisões de n e ( n + 1 ) por 3 for igual a 1 .
Fazendo uma verificação baseada no teorema apresentado :
n (n) + n(1) = 1 <--> r3 ( r3) + r3 ( 1 ) = 1 <--> (r3)² + r3 = 1 <--> (r3)² + r3 - 1 = 0 ; cujas raízes são : .
Que não é um resultado válido , pois sabemos que se n e 3 , então o resto r3 , da divisão de n por 3 , .
Provando que a afirmação : 3 | f(n) é falsa a afirmação 3 | f(x) também é falsa .
Após verificar de forma análoga os outros números primos menores que 17 : { 5 , 7 , 11 , 13 } , concluímos que 17 é o menor número primo que divide f(x) , para algum inteiro x .
Obs: No raciocínio usado foram considerados apenas os valores de x inteiros , pois o gráfico da função é uma parábola .
Ps : Santhiago , gostaria de sua ajuda e dos demais usuários para verificar se o raciocínio contém erros , inconsistência ou escassez de informação . E por favor não riam se cometi algum erro ridiculamente tosco .
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por e8group » Dom Jul 07, 2013 17:42
Na minha opinião sua solução está globalmente correta,vamos ver o que os demais usuários do fórum acham.Se permite-me ,gostaria de palpitar novamente,desta vez vou incluir seu raciocínio na minha resolução .
Consideremos
o subconjunto do conjunto dos números primos impares.Suponhamos que para cada
ou
inteiro (pois a função
não é injetiva ,para cada
inteiro existe algum
inteiro tal que
) conseguimos números (dependendo de
) primos
tal que o número composto
pode ser reescrito como
.Assim , sendo
. Segue ,
.Além disso ,para cada
, temos
.Ou seja ,
.
Vemos então que se
divide
tem-se necessariamente
(Por quê ? ) .Agora suponhamos
.Pela infinitude dos números primos conseguimos números primos impares distintos dos
tais que eles dividem f(x).Assim se
podemos supor que
e utilizar o item proposto por você (2) " ...Agora considerando o seguinte teorema : ..." em diante para concluir que
necessariamente é estritamente maior que 17 .
Editado pela última vez por
e8group em Seg Jul 08, 2013 17:57, em um total de 1 vez.
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por e8group » Dom Jul 07, 2013 18:02
OBS.: Na verdade ,o produto
seria
o correto que de forma compacta é :
.
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por chronoss » Seg Jul 08, 2013 17:24
Ainda estou tentando entender seu raciocínio , deste ponto : Além disso ,para cada m ... , em diante ficou meio confuso para mim.
Obs: No começo vc citou que a função é injetiva , mas a definição de função injetiva não seria justamente o contrário? E também para o produtório ser de números primos , x deveria ser maior que ( - 1 ) ou menor que ( - 4 ) , ou não??
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por e8group » Seg Jul 08, 2013 17:53
Tem razão . Na verdade queria dizer que ela não era injetora (assim basta analisar um subconjunto de seu dominío onde a função é injetiva ).Estar editado .Obrigado .
Note que ,
.
De forma análoga ,
(...)
.
Assim , podemos dizer que para escolha arbitrária de
em
temos :
ou de forma compacta conforme eu já postei .Utilizei esta introdução apenas para mostra que se alguns dos números primos da lista divide
então necessariamente ele é
. Aparti daí usei o fato da infinidade dos números primos para obtermos números primos que não está na lista (já postada) que divide
e então mostrar que tais números são necessariamente maiores que 17 (usando seu raciocínio) .
Em resumo , no fundo não fiz nada demais . Minha solução proposta difere da sua apenas na introdução ,o restante da questão é globalmente análoga a sua no meu ponto de vista .
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por e8group » Seg Jul 08, 2013 19:27
Correto .
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por chronoss » Seg Jul 08, 2013 19:57
Obrigado por toda a ajuda santhiago , toda a discussão foi bastante agradável .
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por e8group » Seg Jul 08, 2013 21:26
Não há de quê .Se tiver mais questões aí para compartilhar, a comunidade a agradece .De qualquer forma,se você disse que esta questão foi resolvida usando relações de congruências, talvez seja melhor assim .
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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