Convergência de série

por **ThallesAlencar** » Seg Abr 08, 2013 14:47

gostaria de saber se a série $\sum_{0}^{infinity} sin (n\pi\frac{1}{2})n\frac{1}{e^n}$ converge ou diverge e qual foi o método usado para saber.

por **young_jedi** » Seg Abr 08, 2013 20:30

primeiro pelo teste da comparação podemos perceber que

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)n}{e^n}<\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{e^n}$

pois como seno varia de -1 ate 1 então cada termo da primeira serie e menor ou igual a cada termo da segunda serie

portanto temos que se a segunda serie converge a primeira tambem converge

analisando a segunda pelo teste da razão temos

$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}=\frac{n+1}{e.e^n.n}$

$\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n.e}$

$\lim_{n\to\infty}=\frac{n}{ne}+\frac{1}{ne}$

$\lim_{n\to\infty}=\frac{1}{e}+\frac{1}{ne}=\frac{1}{e}$

como 1/e é menor que 1 então a serie converge

por **ThallesAlencar** » Ter Abr 09, 2013 09:01

Obrigado; ótima resolução!

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