Integral com aplicaçao

por **menino de ouro** » Dom Jan 20, 2013 15:31

Pessoal eu queria uma ajuda para entender como se resolve essas questões para que eu possa sair bem na prova,acho que estou estudando matemática muito mecanicamente, só pelas respostas ou exemplos , sem entendimento. ai quando chega na hora da prova eu agarro!!

1)Esboce a regi ?o e ache a areá da região compreendida entre:

a)os gráficos de f (x) = $x^2 e g(x)= \frac{x^2}{2}+2$
b)os graficos de f(x) = x^2 e, g(x) = 1-x^2

c)os graficos de f(x) = $x^2 e , g(x)= 1-x^2 \:e , a , reta , y=2$

2) esboce o conjunto D e ache a area de D,nos seguintes casos
a) D = ( x,y) $\in$ $R^2 ; x^2 -1 \leqy \leq(y)\leq(0)$
b) D = ( x,y) $\in$ R^2 ; $R^2 ; 0\leqy \leq(y)\leq(9-x^2)$

por **Russman** » Dom Jan 20, 2013 20:25

Vou fazer a 1° de exemplo, você tente fazer as outras e vá expondo suas dúvidas aqui que o ajudaremos.

A primeira coisa interessante a fazer é esboçar os gráficos das funções para VIZUALIZAR a região delimitada por elas, isto é, por suas intersecções.

As funções são f(x) = x^2

, em verde, e $g(x) = \frac{x^2}{2} + 2$ , em vermelho.

: graph; graph.gif (5.81 KiB) Exibido 3568 vezes

A primeira coisa a fazer é determinar os pontos de intersecção. Para estes temos f(x) = g(x)

, de modo que

$x^2 = \frac{x^2}{2} + 2 \Rightarrow x^2 - \frac{x^2}{2} =2 \Rightarrow \frac{x^2}{2} = 2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \left\{\begin{matrix} -2\\ 2 \end{matrix}\right.$

Assim, as funções se intersectam nos pontos (-2,4)

e

Agora, se tomarmos a área entre o eixo

e a função g(x)

e subtrairmos da área entre o eixo

e a função f(x)

no intervalo [-2,2]

teremos isolado a região de interesse.

Assim, basta fazer

$S = \int_{-2}^{2}\frac{x^2}{2}+2 dx - \int_{-2}^{2}x^2 dx$

Note que esta região é equivalente a

$\int_{-2}^{2}\frac{x^2}{2}+2 dx - \int_{-2}^{2}x^2 dx = \int_{-2}^{2}\left ( \frac{x^2}{2}+2-x^2 \right )dx = \int_{-2}^{2}\left ( -\frac{x^2}{2}+2 \right )dx$

Agora integre, aplique os limites e está feito.

por **menino de ouro** » Dom Jan 20, 2013 23:10

estava estudando , e entendi o desenvolvimento , porem no finalzinho onde foi parar o x^2

por **Russman** » Dom Jan 20, 2013 23:30

Ele não some. Você faz a operação:

$\frac{x^2}{2} - x^2 = - \frac{x^2}{2}$

por **menino de ouro** » Dom Jan 20, 2013 23:35

por **menino de ouro** » Dom Jan 20, 2013 23:49

quando eu tenho duas funções no caso f(x) e g(x) sempre irei igualar para achar os pontos de intercessão? ou não

no caso da letra a) do numero 2 eu só tenho a função y é isso ou não?