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Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Qui Nov 15, 2012 08:36

Olá. Achei esta questão na internet

(ITA – SP) – A equação (1 - x)   (1 - x)  \times x = 1 - x^2 tem:

a. Três raízes reais;
b. Uma raiz dupla igual a 1;
c. Não tem raízes complexas;
d. S = {1; i ; - i};
e. Nda.


e não estou conseguindo fazer ela.

Tentei usar produtos notáveis para reduzir a equação, mas cheguei em uma equação de segundo grau, o que está errado, pois a resposta certa é a letra D

Alguém poderia me mostrar como fazer?
PedroCunha
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Qui Nov 15, 2012 13:54

\\ (1 - x)(1 - x)x = 1 - x^2 \\\\ (1 - x)(1 - x)x = (1 + x)(1 - x) \\\\ (1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0 \\\\ (1 - x)\left [ x(1 - x) - (1 + x) \right ] = 0 \\\\ (1 - x)(\cancel{x} - x^2 - 1 \cancel{- x}) = 0 \\\\ (1 - x)(- x^2 - 1) = 0 \\\\ (1 - x) \cdot - 1 \cdot (x^2 + 1) = 0 \\\\ - (1 - x)(x^2 + 1) = 0 \\\\ (x - 1)(x^2 + 1) = 0 \\\\ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ x^2 + 1 = 0 \end{cases} \\\\\\ \blacklozenge \,\, x - 1 = 0 \\ \boxed{\boxed{x = 1}} \\\\\\ \blacklozenge \,\, x^2 + 1 = 0 \\ \Delta = 0 - 4 \\ \Delta = - 4 \\ \Delta = 4i^2 \\\\ x = \frac{0 \pm \sqrt{4i^2}}{2} \\\\ \boxed{\boxed{x' = i}} \,\, \textup{e} \,\, \boxed{\boxed{x' = - i}}
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habilidade é saber como fazer;
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sex Nov 16, 2012 19:04

Olá. Primeiramente, obrigado por responder. Porém, tenho uma dúvida.

Quando você chega em:

( 1 - x ) ( 1 - x )x - ( 1 + x ) ( 1 - x) = 0

( 1 - x ) [x( 1 - x ) - ( 1 + x)] = 0

O que acontece com o segundo

( 1 - x )

do produto

( 1 + x ) ( 1 - x )

Att.,
Pedro
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 17:07

Olá Pedro,
boa tarde!
Eu coloquei ele em evidência, isto é, dividi!

(1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0

(1 - x)[(1 - x)x - (1 + x)] = 0

Consegue visualizar?

Aguardo retorno.

Daniel F.
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 17:50

Mas nesse caso, devido à presença do (1 + x) isso não estaria errado?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 18:02

Veja um exemplo:

\\ a^2x - ab = 0 \\ a(ax - b) = 0

Note que,
1 - x = a
1 + x = b
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:45

Ahhh..acho que agora entendi.Veja se meu raciocínio está correto. Na equação

(1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0

(1 - x)(1-x)x são como se fosse um só

e

(1 + x)(1-x) também são como se fosse um só

Por isso, quando colocamos o (1 - x) em evidência, chegamos em

(1-x) [ (1-x)x - (1+x)]

Certo?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 18:46

Perfeito!
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:49

Obrigado pela atenção!

Não estava entendendo pois estava olhando os termos como se fossem separados. Logo, não conseguia entender. Mas só por curiosidade, se eu não soubesse isso, teria como resolver o exercício sem colocar nada em evidência?

Att.,
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:51

Obrigado pela atenção!

Não estava entendendo pois estava olhando os termos como se fossem separados. Logo, não conseguia entender. Mas só por curiosidade, se eu não soubesse isso, teria como resolver o exercício sem colocar nada em evidência?

Att.,
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 19:17

Queres outra forma de resolver, certo?!

Segue:

\\(1 - x)(1 - x)x = 1 - x^2 \\\\ (1 - x - x + x^2)x - 1 + x^2 = 0 \\\\ (1 - 2x + x^2)x - 1 + x^2 = 0 \\\\ x - 2x^2 + x^3 - 1 + x^2 = 0 \\\\ \boxed{x^3 - x^2 + x - 1 = 0}

Agora, teria que encontrar as raízes dessa equação do 3º grau.
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 19:38

Para encontrar as raízes dessa equação teria que colocar em evidência também, certo?

x^3 - x^2 + x - 1 = 0

x (x^2 - x + 1) -1 = 0

1ª equação:

x - 1 = 0

 x = 1

2ª equação:

x^2 - x + 1 - 1 = 0


x' = 1 + 1 / 2 = 1


x'' = 1 - 1 / 2 = 0

O resultado está errado. Eu que fiz errado ou esse é o jeito errado de resolver?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Dom Nov 18, 2012 10:22

PedroCunha escreveu:Para encontrar as raízes dessa equação teria que colocar em evidência também, certo?

Acredito que essa seja a forma mais simples.
Dê uma olhada nesse tópico http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=116&t=10230&p=35729#p35729.

Mas, existe outra forma...
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Dom Nov 18, 2012 10:53

Ahh..entendi o jeito de certo de fatorar. Aqui vai conta, veja se está certa por favor.

x^3 - x^2 + x - 1 = 0

x^2(x - 1) + x - 1 = 0

x^2(x - 1) + 1 (x - 1) = 0

(x - 1) (x^2 + 1) = 0

1ª Resposta:

x - 1 = 0                                                                                              
                                                                     
x = 1


2ª Resposta:

x^2 + 1 = 0

x = \pm  i


S \{ 1, +i, -i\}

Att.,
Pedro
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Ter Nov 20, 2012 21:07

Sim, está certo!
:y:
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Ter Nov 20, 2012 21:31

Obrigado por toda a ajuda Dan, :D.
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.