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Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Qui Nov 15, 2012 08:36

Olá. Achei esta questão na internet

(ITA – SP) – A equação (1 - x)   (1 - x)  \times x = 1 - x^2 tem:

a. Três raízes reais;
b. Uma raiz dupla igual a 1;
c. Não tem raízes complexas;
d. S = {1; i ; - i};
e. Nda.


e não estou conseguindo fazer ela.

Tentei usar produtos notáveis para reduzir a equação, mas cheguei em uma equação de segundo grau, o que está errado, pois a resposta certa é a letra D

Alguém poderia me mostrar como fazer?
PedroCunha
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Qui Nov 15, 2012 13:54

\\ (1 - x)(1 - x)x = 1 - x^2 \\\\ (1 - x)(1 - x)x = (1 + x)(1 - x) \\\\ (1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0 \\\\ (1 - x)\left [ x(1 - x) - (1 + x) \right ] = 0 \\\\ (1 - x)(\cancel{x} - x^2 - 1 \cancel{- x}) = 0 \\\\ (1 - x)(- x^2 - 1) = 0 \\\\ (1 - x) \cdot - 1 \cdot (x^2 + 1) = 0 \\\\ - (1 - x)(x^2 + 1) = 0 \\\\ (x - 1)(x^2 + 1) = 0 \\\\ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ x^2 + 1 = 0 \end{cases} \\\\\\ \blacklozenge \,\, x - 1 = 0 \\ \boxed{\boxed{x = 1}} \\\\\\ \blacklozenge \,\, x^2 + 1 = 0 \\ \Delta = 0 - 4 \\ \Delta = - 4 \\ \Delta = 4i^2 \\\\ x = \frac{0 \pm \sqrt{4i^2}}{2} \\\\ \boxed{\boxed{x' = i}} \,\, \textup{e} \,\, \boxed{\boxed{x' = - i}}
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habilidade é saber como fazer;
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sex Nov 16, 2012 19:04

Olá. Primeiramente, obrigado por responder. Porém, tenho uma dúvida.

Quando você chega em:

( 1 - x ) ( 1 - x )x - ( 1 + x ) ( 1 - x) = 0

( 1 - x ) [x( 1 - x ) - ( 1 + x)] = 0

O que acontece com o segundo

( 1 - x )

do produto

( 1 + x ) ( 1 - x )

Att.,
Pedro
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 17:07

Olá Pedro,
boa tarde!
Eu coloquei ele em evidência, isto é, dividi!

(1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0

(1 - x)[(1 - x)x - (1 + x)] = 0

Consegue visualizar?

Aguardo retorno.

Daniel F.
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 17:50

Mas nesse caso, devido à presença do (1 + x) isso não estaria errado?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 18:02

Veja um exemplo:

\\ a^2x - ab = 0 \\ a(ax - b) = 0

Note que,
1 - x = a
1 + x = b
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:45

Ahhh..acho que agora entendi.Veja se meu raciocínio está correto. Na equação

(1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0

(1 - x)(1-x)x são como se fosse um só

e

(1 + x)(1-x) também são como se fosse um só

Por isso, quando colocamos o (1 - x) em evidência, chegamos em

(1-x) [ (1-x)x - (1+x)]

Certo?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 18:46

Perfeito!
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:49

Obrigado pela atenção!

Não estava entendendo pois estava olhando os termos como se fossem separados. Logo, não conseguia entender. Mas só por curiosidade, se eu não soubesse isso, teria como resolver o exercício sem colocar nada em evidência?

Att.,
Pedro
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:51

Obrigado pela atenção!

Não estava entendendo pois estava olhando os termos como se fossem separados. Logo, não conseguia entender. Mas só por curiosidade, se eu não soubesse isso, teria como resolver o exercício sem colocar nada em evidência?

Att.,
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 19:17

Queres outra forma de resolver, certo?!

Segue:

\\(1 - x)(1 - x)x = 1 - x^2 \\\\ (1 - x - x + x^2)x - 1 + x^2 = 0 \\\\ (1 - 2x + x^2)x - 1 + x^2 = 0 \\\\ x - 2x^2 + x^3 - 1 + x^2 = 0 \\\\ \boxed{x^3 - x^2 + x - 1 = 0}

Agora, teria que encontrar as raízes dessa equação do 3º grau.
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 19:38

Para encontrar as raízes dessa equação teria que colocar em evidência também, certo?

x^3 - x^2 + x - 1 = 0

x (x^2 - x + 1) -1 = 0

1ª equação:

x - 1 = 0

 x = 1

2ª equação:

x^2 - x + 1 - 1 = 0


x' = 1 + 1 / 2 = 1


x'' = 1 - 1 / 2 = 0

O resultado está errado. Eu que fiz errado ou esse é o jeito errado de resolver?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Dom Nov 18, 2012 10:22

PedroCunha escreveu:Para encontrar as raízes dessa equação teria que colocar em evidência também, certo?

Acredito que essa seja a forma mais simples.
Dê uma olhada nesse tópico http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=116&t=10230&p=35729#p35729.

Mas, existe outra forma...
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Dom Nov 18, 2012 10:53

Ahh..entendi o jeito de certo de fatorar. Aqui vai conta, veja se está certa por favor.

x^3 - x^2 + x - 1 = 0

x^2(x - 1) + x - 1 = 0

x^2(x - 1) + 1 (x - 1) = 0

(x - 1) (x^2 + 1) = 0

1ª Resposta:

x - 1 = 0                                                                                              
                                                                     
x = 1


2ª Resposta:

x^2 + 1 = 0

x = \pm  i


S \{ 1, +i, -i\}

Att.,
Pedro
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Ter Nov 20, 2012 21:07

Sim, está certo!
:y:
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Ter Nov 20, 2012 21:31

Obrigado por toda a ajuda Dan, :D.
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Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?