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Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Qui Nov 15, 2012 08:36

Olá. Achei esta questão na internet

(ITA – SP) – A equação (1 - x)   (1 - x)  \times x = 1 - x^2 tem:

a. Três raízes reais;
b. Uma raiz dupla igual a 1;
c. Não tem raízes complexas;
d. S = {1; i ; - i};
e. Nda.


e não estou conseguindo fazer ela.

Tentei usar produtos notáveis para reduzir a equação, mas cheguei em uma equação de segundo grau, o que está errado, pois a resposta certa é a letra D

Alguém poderia me mostrar como fazer?
PedroCunha
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Qui Nov 15, 2012 13:54

\\ (1 - x)(1 - x)x = 1 - x^2 \\\\ (1 - x)(1 - x)x = (1 + x)(1 - x) \\\\ (1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0 \\\\ (1 - x)\left [ x(1 - x) - (1 + x) \right ] = 0 \\\\ (1 - x)(\cancel{x} - x^2 - 1 \cancel{- x}) = 0 \\\\ (1 - x)(- x^2 - 1) = 0 \\\\ (1 - x) \cdot - 1 \cdot (x^2 + 1) = 0 \\\\ - (1 - x)(x^2 + 1) = 0 \\\\ (x - 1)(x^2 + 1) = 0 \\\\ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ x^2 + 1 = 0 \end{cases} \\\\\\ \blacklozenge \,\, x - 1 = 0 \\ \boxed{\boxed{x = 1}} \\\\\\ \blacklozenge \,\, x^2 + 1 = 0 \\ \Delta = 0 - 4 \\ \Delta = - 4 \\ \Delta = 4i^2 \\\\ x = \frac{0 \pm \sqrt{4i^2}}{2} \\\\ \boxed{\boxed{x' = i}} \,\, \textup{e} \,\, \boxed{\boxed{x' = - i}}
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habilidade é saber como fazer;
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sex Nov 16, 2012 19:04

Olá. Primeiramente, obrigado por responder. Porém, tenho uma dúvida.

Quando você chega em:

( 1 - x ) ( 1 - x )x - ( 1 + x ) ( 1 - x) = 0

( 1 - x ) [x( 1 - x ) - ( 1 + x)] = 0

O que acontece com o segundo

( 1 - x )

do produto

( 1 + x ) ( 1 - x )

Att.,
Pedro
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 17:07

Olá Pedro,
boa tarde!
Eu coloquei ele em evidência, isto é, dividi!

(1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0

(1 - x)[(1 - x)x - (1 + x)] = 0

Consegue visualizar?

Aguardo retorno.

Daniel F.
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 17:50

Mas nesse caso, devido à presença do (1 + x) isso não estaria errado?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 18:02

Veja um exemplo:

\\ a^2x - ab = 0 \\ a(ax - b) = 0

Note que,
1 - x = a
1 + x = b
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:45

Ahhh..acho que agora entendi.Veja se meu raciocínio está correto. Na equação

(1 - x)(1 - x)x - (1 + x)(1 - x) = 0

(1 - x)(1-x)x são como se fosse um só

e

(1 + x)(1-x) também são como se fosse um só

Por isso, quando colocamos o (1 - x) em evidência, chegamos em

(1-x) [ (1-x)x - (1+x)]

Certo?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 18:46

Perfeito!
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:49

Obrigado pela atenção!

Não estava entendendo pois estava olhando os termos como se fossem separados. Logo, não conseguia entender. Mas só por curiosidade, se eu não soubesse isso, teria como resolver o exercício sem colocar nada em evidência?

Att.,
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 18:51

Obrigado pela atenção!

Não estava entendendo pois estava olhando os termos como se fossem separados. Logo, não conseguia entender. Mas só por curiosidade, se eu não soubesse isso, teria como resolver o exercício sem colocar nada em evidência?

Att.,
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Nov 17, 2012 19:17

Queres outra forma de resolver, certo?!

Segue:

\\(1 - x)(1 - x)x = 1 - x^2 \\\\ (1 - x - x + x^2)x - 1 + x^2 = 0 \\\\ (1 - 2x + x^2)x - 1 + x^2 = 0 \\\\ x - 2x^2 + x^3 - 1 + x^2 = 0 \\\\ \boxed{x^3 - x^2 + x - 1 = 0}

Agora, teria que encontrar as raízes dessa equação do 3º grau.
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Sáb Nov 17, 2012 19:38

Para encontrar as raízes dessa equação teria que colocar em evidência também, certo?

x^3 - x^2 + x - 1 = 0

x (x^2 - x + 1) -1 = 0

1ª equação:

x - 1 = 0

 x = 1

2ª equação:

x^2 - x + 1 - 1 = 0


x' = 1 + 1 / 2 = 1


x'' = 1 - 1 / 2 = 0

O resultado está errado. Eu que fiz errado ou esse é o jeito errado de resolver?
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Dom Nov 18, 2012 10:22

PedroCunha escreveu:Para encontrar as raízes dessa equação teria que colocar em evidência também, certo?

Acredito que essa seja a forma mais simples.
Dê uma olhada nesse tópico http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=116&t=10230&p=35729#p35729.

Mas, existe outra forma...
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Dom Nov 18, 2012 10:53

Ahh..entendi o jeito de certo de fatorar. Aqui vai conta, veja se está certa por favor.

x^3 - x^2 + x - 1 = 0

x^2(x - 1) + x - 1 = 0

x^2(x - 1) + 1 (x - 1) = 0

(x - 1) (x^2 + 1) = 0

1ª Resposta:

x - 1 = 0                                                                                              
                                                                     
x = 1


2ª Resposta:

x^2 + 1 = 0

x = \pm  i


S \{ 1, +i, -i\}

Att.,
Pedro
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor DanielFerreira » Ter Nov 20, 2012 21:07

Sim, está certo!
:y:
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Re: Questão do ITA-SP sobre Polinômios

Mensagempor PedroCunha » Ter Nov 20, 2012 21:31

Obrigado por toda a ajuda Dan, :D.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?