Logaritmos.( Prove tal afirmação )

por **DanielRJ** » Qui Out 14, 2010 18:15

Eu tenho algumas questões desse tipo que não estou conseguindo resolver.

Se a , b e c são reais positivos com $a\not=1$ e $ac\not=1$ , prove que:

$log_ab=(log_{ac}b).(1+log_ac)$

por **MarceloFantini** » Qui Out 14, 2010 19:40

Daniel, vou sair do segundo lado e chegar no primeiro. Primeiro, note que:

$1 + \log_a c = \log_a a + \log_a c = \log_a (ac)$

O que mostra a necessidade de $ac \neq 1$ , caso contrário esse $\log$ seria zero e o produto seria zero. Vamos ao produto:

$(\log_{ac} b) \cdot (1 + \log_a c) = (\log_{ac} b) \cdot (\log_a (ac)) = \left( \frac{\log_a b}{\log_a ac} \right) \cdot (\log_a (ac)) = \log_a b$

Provado.

por **DanielRJ** » Sex Out 15, 2010 17:01

Fantini escreveu:Daniel, vou sair do segundo lado e chegar no primeiro. Primeiro, note que:

$1 + \log_a c = \log_a a + \log_a c = \log_a (ac)$

O que mostra a necessidade de $ac \neq 1$ , caso contrário esse $\log$ seria zero e o produto seria zero. Vamos ao produto:

$(\log_{ac} b) \cdot (1 + \log_a c) = (\log_{ac} b) \cdot (\log_a (ac)) = \left( \frac{\log_a b}{\log_a ac} \right) \cdot (\log_a (ac)) = \log_a b$

Provado.

Nossa é um pouco chato vou tentar fazer os outros aqui.

por **DanielRJ** » Sex Out 15, 2010 18:02

Olá estou tendo dificuldade em prova essa aqui eu acabo achando outro resultado.

Se a, b e c são reais positivos e diferentes de 1 e a= b.c prove que:

$\frac{1}{log_ac}=1+\frac{1}{log_bc}$

Bmo vo passar o que resolvi aqui e achei outro resultado.

$1+\frac{1}{log_bc}=\frac{log_bc+1}{log_bc}=\frac{log_bc+log_bb}{log_bc}=\frac{log_b(b.c)}{log_bc}=\frac{log_ba}{log_bc}=log_ca=\frac{log_aa}{log_ac}=\frac{1}{log_ac}$

Editado conforme a ajuda do amigo fantini.

por **DanielRJ** » Sex Out 15, 2010 18:12

por **MarceloFantini** » Sex Out 15, 2010 18:41

Sejam $\log B = x$ e $\log A = y$ . Então $A^{\log B} = A^x \rightarrow \log A^x = x \log A = \log B \cdot \log A = \log B \cdot y = y \log B = \log B^y$

Note que $\log A^x = \log B^y \rightarrow 10^{B^y} = 10^{A^x} \rightarrow A^x = B^y \rightarrow A^{\log B} = B^{\log A}$